Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s₁（如圖1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為s₂（如圖2）；繼續(xù)操作下去…；則第10次剪取時，s₁₀=    ；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，可求得S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1，同理可得規(guī)律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和，根據(jù)此規(guī)律求解即可答案．
解答：解：∵四邊形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=1；
同理：S₂即是第二次剪取后剩余三角形面積和，
S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和，
∴第一次剪取后剩余三角形面積和為：2-S₁=1=S₁，
第二次剪取后剩余三角形面積和為：S₁-S₂=1-==S₂，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：S₂-S₃=-==S₃，
…
第n次剪取后剩余三角形面積和為：S_n-1-S_n=S_n=．
則s₁₀==；s₂₀₁₂==；
故答案分別是：和．
點評：此題考查了正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，找到規(guī)律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面積和是解此題的關(guān)鍵．