Question

填空或解答：點(diǎn)B、C、E在同一直線上，點(diǎn)A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點(diǎn)F．
（1）如圖①，若∠BAC=60°，則∠AFB=

 

；如圖②，若∠BAC=90°，則∠AFB=

 

；
（2）如圖③，若∠BAC=α，則∠AFB=

 

（用含α的式子表示）；
（3）將圖③中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合），得圖④或圖⑤．在圖④中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是∠AFB=90°-

1

2

α；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是

 

．請你任選其中一個(gè)結(jié)論證明．

Answer 1

分析：（1）由題意易得△ABC∽△EDC，進(jìn)一步證得△BCD∽△ACE，進(jìn)而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=60°，同理可得，∠AFB的大�。�
（2）同（1）的證明可得；
（3）圖四，由前面步驟可得∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB=90°-

1

2

α；圖5，與前面步驟相同，可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED，代入數(shù)據(jù)求大小．

解答：解：（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD
=180°-∠BAC-∠ABC
=∠ACB，
∴∠AFB=60°，
同理可得：∠AFB=45°；

（2）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

EC

，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=90°-

1

2

α．
故答案為：∠AFB=90°-

1

2

α．

（3）圖4中：∠AFB=90°-

1

2

α；
圖5中：∠AFB=90°+

1

2

α．
∠AFB=90°-

1

2

α的證明如下：
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

EC

，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=90°-

1

2

α．

∠AFB=90°+

1

2

α的證明如下：
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

EC

，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，
=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，
∴∠DCE=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律，探究兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．
本題突出考查從特殊與一般的數(shù)學(xué)思想和實(shí)驗(yàn)研究的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手操作、觀察猜想、合情推理、歸納證明等全過程．