Question

已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，經(jīng)過兩點(diǎn)（0，3）和（-1，8），并與x軸的交點(diǎn)為B、C（點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊），其頂點(diǎn)為點(diǎn)P．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）如果直線y=x向上或向下平移經(jīng)過點(diǎn)P，求證：平移后的直線一定經(jīng)過點(diǎn)B；
（3）在（2）的條件下，能否在直線y=x上找一點(diǎn)D，使四邊形OPBD是等腰梯形？若能，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請簡要說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，設(shè)出解析式，再根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3）和（-1，8），求出自變量，即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）求出平移后經(jīng)過P點(diǎn)直線的解析式，而B點(diǎn)坐標(biāo)已知，代入解析式正好符合，可證平移后的直線一定經(jīng)過點(diǎn)B；
（3）在四邊形OPBD是等腰梯形且D在y=x這條直線上時，作如圖所示輔助線，用勾股定理求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+m，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3）和（-1，8），
∴

3=4a+m  8=9a+m .

，
解得

a=1  m=-1 .

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）拋物線y=x²-4x+3與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、C（1，0），
頂點(diǎn)為P（2，-1）．
由題意，設(shè)平移后直線為y=x+b，
由已知，-1=2+b，
解得b=-3．
∴直線y=x平移后經(jīng)過點(diǎn)P的直線為y=x-3，
當(dāng)x=3時，y=0．
∴直線y=x-3經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）；

（3）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N．
在Rt△ONP中，OP²=ON²+PN²=5．
∵點(diǎn)D在直線y=x上，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x）．
在Rt△BDM中，BD²=BM²+DM²=（3-x）²+x²
由OP²=BD²得，
（3-x）²+x²=5，
解得x₁=2，x₂=1．
當(dāng)x=1時，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去．
∴x=2．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，其中涉及二次函數(shù)對稱軸、解析式求法、一次函數(shù)及勾股定理的運(yùn)用．