已知拋物線y=x2+px+q上有一點M(x,y)位于x軸的下方.
(1)求證:拋物線必與x軸交于兩點A(x1,0)、B(x2,0),其中x1<x2;
(2)求證:x1<x<x2;
(3)當(dāng)點M為(1,-1997)時,求整數(shù)x1、x2.
【答案】
分析:(1)由點M(x
,y
)位于x軸的下方可以得到
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,而△=p
2-4q,由此得到
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>0,然后得到方程x
2+px+q=0有兩個實根,這樣就可以證明題目的問題;
(2)由(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得
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①,代入x
2+px
+q=y
<0可以得不等式x
2-(x
1+x
2)x
+x
1x
2<0,即(x
-x
1)(x
-x
2)<0,由此即可解決問題;
(3)由M在拋物線上,而x
1,x
2滿足①可以得y
=x
2-(x
1+x
2)x
+x
1x
2,即-1997=(x
1-1)(x
2-1),又1997為整數(shù),這樣得到(x
1-1)、(x
2-1)均為整數(shù),且由x
1<x
2,知x
1-1<x
2-1,最好可以得到
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或

,解方程組即可求解.
解答:解:(1)由點M(x
,y
)位于x軸的下方,
有

得△=

>0.
∴方程x
2+px+q=0有兩個實根,設(shè)為x
1、x
2(x
1<x
2).
于是拋物線與x軸有兩個交點A(x
1,0)、B(x
2,0).(4分)
(2)由(1)得
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①
代入x
2+px
+q=y
<0,得不等式x
2-(x
1+x
2)x
+x
1x
2<0
即(x
-x
1)(x
-x
2)<0
故 x
1<x
<x
2.(8分)
(3)由M在拋物線上,而x
1,x
2滿足①得
y
=x
2-(x
1+x
2)x
+x
1x
2.即-1997=(x
1-1)(x
2-1).
∵1997為整數(shù),
∴(x
1-1)、(x
2-1)均為整數(shù),且由x
1<x
2,知x
1-1<x
2-1,
得
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或

.
∴

或

.(14分)
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題目,分別考查了一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及方程組的解法等知識,綜合性很強(qiáng),代數(shù)變形能力要求比較高,是一個難題,平時加強(qiáng)訓(xùn)練才能很好解決這類問題.