Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C，D都在第一象限．
（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；
（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為n，試確定n的取值范圍，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形AOBP是正方形，根據(jù)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD求OA的長(zhǎng)，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）作輔助線，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，只要再證明PG=PH即可，根據(jù)證明△PGB≌△PHA，可以得出結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)B與O重合時(shí)，如圖3，n最小，當(dāng)BD∥x軸時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)P到x軸的距離為PA，此時(shí)n最大，分別求出即可．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BAO=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAP=45°，AC⊥BD，
∴∠OAP=45°+45°=90°，∠APB=90°，
∴∠AOB=∠OAP=∠APB=90°，
∴四邊形AOBP是矩形，
∵OB=OA，
∴矩形AOBP為正方形，
∵AB=2，
∴OA=AP=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）如圖2，過(guò)P作PG⊥y軸于G，PH⊥x軸于H，
∵∠PGO=∠GOH=∠OHP=90°，
∴∠GPH=90°，
∴∠GPB+∠BPH=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠BPH+∠APH=90°，
∴∠GPB=∠APH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴PB=PA，
∵∠PGB=∠PHA=90°，
∴△PGB≌△PHA，
∴PG=PH，
∴點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上，
即無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；
（3）當(dāng)點(diǎn)B與O重合時(shí)，如圖3，
△ABP是等腰直角三角形，
∴PH=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴此時(shí)n=1，
當(dāng)BD∥x軸時(shí)，如圖1，此時(shí)點(diǎn)P到x軸的距離為PA，即n=PA=$\sqrt{2}$，
∴1＜n≤$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形、三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵，注意圖形與坐標(biāo)特點(diǎn)．