Question

已知：如圖，等邊△AOB的頂點A在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，點B的坐標為（4，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB的函數(shù)表達式；
（3）在y軸上是否存在點P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點P的坐標都寫出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，因為△AOB是等邊三角形，點B的坐標為（4，0）所∠AOB=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD及OD的長，進而可得出A點坐標，進而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)表達式即可；
（3）設P（0，y），再分AP=OA，OP=OA，OP=AP三種情況進行討論．

解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，
∵△AOB是等邊三角形，點B的坐標為（4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD=

1

2

OB=2，AD=OA•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴A（2，2

3

），
∴k=2×2

3

=4

3

；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（2，2

3

），B（4，0），
∴

2k+b=2 3 4k+b=0

，解得

k=- 3 b=4 3

，
∴直線AB的解析式為：y=-

3

x+4

3

；

（3）設P（0，y），
當AP=OA時，2²+（2

3

-y）²=4²，解得y=4

3

，此時P₁（0，4

3

）；
當OP=OA時|y|=4，解得y=±4，故P₂（0，-4），P₃（0，4）；
當OP=AP時，如圖所示，
∵BE是OA的垂直平分線，
∴OE=

1

2

OA=2，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOP=30°，
∴OP=

OE

cos30°

=

2

3 2

=

4 3

3

，即P₄（0，

4 3

3

）．
總上所述，P點坐標為P₁（0，4

3

），P₂（0，-4），P₃（0，4），P₄（0，

4 3

3

）．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，難度適中．