Question

如圖，已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，m）．過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點(diǎn)D（n，-2）．
（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直線AB、BD分別交x軸于點(diǎn)C、E，試問(wèn)在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中即可求出k₁的值；過(guò)A作AM垂直于y軸，過(guò)D作DN垂直于y軸，可得出一對(duì)直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ABM與三角形BDN相似，由相似得比例，求出DN的長(zhǎng)，確定出D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=中即可求出k₂的值；
（2）在y軸上存在一個(gè)點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE，此時(shí)F（0，-8），理由為：由y=2x+2求出C坐標(biāo)，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為三角形BDN的中位線，求出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AE，CE，AC，BD的長(zhǎng)，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長(zhǎng)，即可確定出此時(shí)F的坐標(biāo)，
再利用BD=DF時(shí)，進(jìn)而得出即可．
解答：解：（1）將A（1，m）代入一次函數(shù)y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），
將A（1，4）代入反比例解析式y(tǒng)=得：k₁=4；
過(guò)A作AM⊥y軸，過(guò)D作DN⊥y軸，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
∴△ABM∽△BDN，
∴=，即=，
∴DN=8，
∴D（8，-2），
將D坐標(biāo)代入y=得：k₂=-16；

（2）符合條件的F坐標(biāo)為（0，-8），理由為：
由y=2x+2，求出C坐標(biāo)為（-1，0），
∵OB=ON=2，DN=8，
∴OE=4，
可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC，
若△BDF∽△ACE，則=，即=，
解得：BF=10，
則F（0，-8）．
綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-8）時(shí)，△BDF∽△ACE．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．