Question

24、如圖，在等腰梯形AECD中，AE∥DC，∠DAE=60°，點B是AE的中點，AC⊥CE．
求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：根據等腰梯形同一底上的角相等，可得∠DAB=∠E=60°，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得AB=BC=BE，則易得四邊形ABCD是平行四邊形，即可得四邊形ABCD是菱形．

解答：證明：∵四邊形AECD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠E=60°，（3分）
∵AC⊥CE，點B是AE的中點，
∴AB=BC=BE，（6分）
∴∠CBE=∠DAB=60°，（8分）
∴AD∥BC，（9分）
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，（11分）
又AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．（13分）
此題方法很多，添加輔助線也可，如圖，只要有理有據，相應給分即可．

證法2：連接BD，（1分）
∵四邊形AECD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠E=60°，（3分）
∵AC⊥CE，點B是AE的中點，
∴AB=BC=BE，（6分）
∴△CBE是等邊三角形．
∵AD=EC，
∴△ABD是等邊三角形．（9分）
同理，由BD=BC，∠DBC=60°得△DBC是等邊三角形，（11分）
∴AB=BC=CD=AD．
∴四邊形ABCD是菱形．（13分）
（也可以證對角線互相垂直+平行四邊形）

證法3：設線段AD和EC的延長線交于點F．（1分）
∵四邊形AECD是等腰梯形，∠DAB=60°，
∴△AEF是等邊三角形，（4分）
∵CE⊥AC，
∴FG=CE．（6分）
∵點B是AE的中點，
∴BC是△AEF的中位線且AB=BC=BE，
∴AD∥BC．（9分）
∵DC∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，（11分）
又AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．（13分）
（也可以證四邊相等）

點評：此題考查了等腰梯形的性質（等腰梯形同一底上的角相等）與直角三角形的性質（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）以及菱形的判定．解題時注意審題，選擇適宜自己的解題方法．