Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6）連接AC．拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度，沿折線O-C-B-A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從原點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向x正半軸方向做勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作ED⊥x軸于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△EFD的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（0＜x＜18），試寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）P是直線AC上的點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以0、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到B（6，6），C（0，6），把它們分別代入拋物線y=x²+bx+c，借用方程組求得b=-6，c=6，則拋物線y=x²-6x+6；
（2）需要分三種情況考慮：
①當(dāng)0＜x≤6時(shí)，S=

1

2

OE•OF=

1

2

x²；
②6＜x＜12時(shí)，S=

1

2

×6×6=18；
③當(dāng)12≤x＜18時(shí)，S=

1

2

（18-x）（x-6）=-

1

2

x²+12x-54；                  
（3）需要分類討論：以O(shè)C為菱形的邊和以O(shè)C為菱形的對角線兩種情況進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6），四邊形ABCO為正方形，
∴點(diǎn)C（0，6）
∴把B（6，6），C（0，6）分別代入拋物線y=x²+bx+c，得

62+6b+c=6 c=6

，
解得：

b=-6 c=6

，
∴拋物線y=x²-6x+6；
                                   
（2）當(dāng)0＜x≤6時(shí)，S=

1

2

OE•OF=

1

2

x²，此種情況x=6時(shí)，S有最大值為18；
當(dāng)6＜x＜12時(shí)，S=

1

2

×6×6=18，此種情況S的值恒為18；            
當(dāng)12≤x＜18時(shí)，S=

1

2

（18-x）（x-6）=-

1

2

x²+12x-54；                  
此種情況，S與x為二次函數(shù)關(guān)系，拋物線開口向下，對稱軸x=12，在12≤x＜18范圍內(nèi)，S隨x的增大而減小．所以x=12時(shí)，S值最大為18．
綜合上述三種情況，S最大值為18；

（3）存在．  Q（6，6）．
補(bǔ)充：
①當(dāng)OC為邊時(shí)，根據(jù)題意知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形PQCO，即四邊形ABCO是正方形，符合題意，此時(shí)Q（6，6）；
②當(dāng)以O(shè)C為對角線時(shí)，PQ與線段OC垂直平分，如圖所示，此時(shí)不存在符合條件的菱形．
綜上所述，Q（6，6）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形和菱形的判定方法，同時(shí)也考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論和方程函數(shù)的數(shù)學(xué)思想．本題第3問要從0、C、P、Q四個(gè)點(diǎn)中的不動(dòng)點(diǎn)O、C為突破口，線段OC可能是菱形的邊長，也可能為菱形的對角線，進(jìn)行分類討論．