Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A第一次落到y(tǒng)軸正半軸上時(shí)，求邊BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）若線段AB與y軸的交點(diǎn)為M（如圖2），線段BC與直線y=x的交點(diǎn)為N．設(shè)△MNB的周長(zhǎng)為l，在正方形OABC旋轉(zhuǎn)的過程中l(wèi)值是否有改變？并說明你的結(jié)論；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，當(dāng)θ為何值時(shí)，△OMN的面積最�。壳蟪鲞@個(gè)最小值，并求出此時(shí)△BMN的內(nèi)切圓半徑．

Answer 1

解：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)后C在C′、B在B′、A在A′，
∵邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，
∴BO平分∠AOC，即∠AOB=∠BOC=45°，BO=
S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′，
=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′，
=-，
=；

（2）延長(zhǎng)BA交直線y=-x于E點(diǎn)，
在Rt△AEO與Rt△CNO中，
∵直線y=-x與直線y=x垂直，
∴∠EON=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOE=∠CON，
即，
∴Rt△AEO≌Rt△CNO，
所以AE=CN，OE=ON．
又∠MOE=∠MON=45°，
所以△MOE≌△MON，
ME=MN．
所以：
l=MN+MB+BN，
=ME+MB+BN，
=BE+BN，
=BA+AE+BN，
=BA+CN+BN，
=AB+BC，
=2，
故△MBN的周長(zhǎng)為定值2．

（3）當(dāng)θ=22.5°時(shí)，△OMN的面積最小，
因?yàn)镾_△OMN=S_△MOE=OA•ME=ME=MN，
設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，
因?yàn)? MN+MB+NB=2，
所以m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，
得：t²-mt+1-m=0，
因?yàn)椤?m²-4（1-m）≥0，
所以（舍去）或，
所以S_△OMN的最小值為：×（2-2）=．
此時(shí)△=0，
∴，
∴A為ME的中點(diǎn)．
又因?yàn)镺A⊥ME，所以O(shè)A是∠MOE的平分線，所以θ=22.5°．
在Rt△MNB中，BM=1-t=2-，BN=2-MN-BM=2-，MN=2-2，
設(shè)Rt△BMN的內(nèi)切圓半徑為r，
所以 ．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=，再利用S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′求出即可；
（2）首先延長(zhǎng)BA交直線y=-x于E點(diǎn)，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，進(jìn)而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，進(jìn)而得出l的值不變；
（3）設(shè)MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=2，得出m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，即可得出m的取值范圍，即可得出，△OMN的面積最小值，再利用直角三角形內(nèi)切圓半徑求法得出答案即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積求法等知識(shí)，利用圖形旋轉(zhuǎn)的變化規(guī)律得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．