Question

已知有限張卡片，每張卡片上各寫有一個(gè)小于30的正數(shù)，所有卡片上數(shù)的和為1080．現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先從這些卡片中取出第一批卡片，其數(shù)字之和為S₁，滿足S₁≤120，且S₁要盡可能地大；然后在取出第一批卡片后，對(duì)余下的卡片按第一批的取卡要求構(gòu)成第二批卡片（其數(shù)字之和為S₂）；如此繼續(xù)構(gòu)成第三批（其數(shù)字之和為S₃）；第四批（其數(shù)字之和為S₄）；…直到第N批（其數(shù)字之和為S_N）取完所有卡片為止．
（1）判斷S₁，S₂，…，S_N的大小關(guān)系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片數(shù)為多少？
（2）當(dāng)n=1，2，3，…，N-2時(shí)，求證：Sn＜

960

n

；
（3）對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片，證明：N≤11．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橄热��?shù)字之和要盡可能地大，剩下的數(shù)都不大于前面取出的數(shù)，由此解答即可；
（2）求出取出第n批后，第n+1批卡片還沒取完，此時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于120-S_n+1，余下數(shù)之和更大于120-S_n+1，再利用所有卡片上數(shù)的和為1080列出不等式解答即可；
（3）利用反證法法，結(jié)合（2）的結(jié)論，兩種情況矛盾，解決問題．

解答：（1）解：對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片，滿足S₁≥S₂≥…≥S_N；
假設(shè)每批取出卡片不多于3張，則這3張卡片上的數(shù)之和不大于90，而剩下的每個(gè)數(shù)不大于30，
由已知條件知，應(yīng)該選4張，與假設(shè)矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片數(shù)為4張．

（2）證明：當(dāng)取出第n批后，因?yàn)閚=1，2，3，…，N-2，此時(shí)第n+1批卡片還沒取完，
此時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于120-S_n+1，余下數(shù)之和更大于120-S_n+1，
即1080-（S₁+S₂+…+S_n+1）＞120-S_n+1，
由此可得S₁+S₂+…+S_n＜960，
因?yàn)閚S_n≤S₁+S₂+…+S_n，從而Sn＜

960

n

；

（3）證明：假設(shè)N＞11，即第11批卡片取走后，還有卡片沒被分完，由已知可知余下的每個(gè)數(shù)都大于120-S₁₁，
且120-S₁₁≥120-S₁₀，故余下的每個(gè)數(shù)＞120-S11≥120-S10＞120-

960

10

=24，
因?yàn)榈?1組卡片中至少含有4張，所以第11組卡片上的所有數(shù)之和S₁₁大于24×4=96，從而S₁₀≥S₁₁＞96，
這與（2）中的S₁₀＜96矛盾，所以N≤11．

點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)的推理與論證以及利用反證法證明問題的結(jié)論．