Question

閱讀理解并回答問題．觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…①
（1）請你猜想出表示①中的特點的一般規(guī)律，用含n（n表示整數(shù)）的等式表示出來

 

．
（2）請利用上速規(guī)律計算：（要求寫出計算過程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…則

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
（2）將

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

變形為

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

是解題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）根據(jù)

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，
得出：

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
（2）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題主要考查了通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，難度適中．