Question

（2012•石景山區(qū)二模）已知：拋物線y=-x²+2x+m-2交y軸于點(diǎn)A（0，2m-7）．與直線y=2x交于點(diǎn)B、C（B在右、C在左）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得∠BFE=∠CFE？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）射線OC上有兩個動點(diǎn)P、Q同時從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒

5

個單位長度、每秒2

5

個單位長度的速度沿射線OC運(yùn)動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標(biāo)軸），設(shè)運(yùn)動時間為t秒，若△PMQ與拋物線y=-x²+2x+m-2有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將A（0，2m-7）代入解析式求出m的值即可；
（2）將y=-x²+2x+3與y=2x聯(lián)立求出兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出B點(diǎn)對稱點(diǎn)B′坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線B'C的解析式，再將x=1代入，求出F點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分當(dāng)M（-2t，-2t）在拋物線上時；當(dāng)P（-t，-2t）在拋物線上時；分別代入求出t的值，即可得出△PMQ與拋物線y=-x²+2x+m-2有公共點(diǎn)時，t的取值范圍．

解答：解：（1）點(diǎn)A（0，2m-7）代入y=-x²+2x+m-2，
m-2=2m-7，
解得：m=5
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖1，由

y=-x2+2x+3 y=2x

，
得

x= 3 y=2 3

，

x=- 3 y=-2 3

∴B（

3

，2

3

），C（-

3

，-2

3

）
B（

3

，2

3

），關(guān)于拋物線對稱軸x=1的對稱點(diǎn)為B′（2-

3

，2

3

），
將B′，C代入y=kx+b，得：

(2- 3 )k+b=2 3 - 3 k+b=-2 3

，
解得：

k=2 3 b=6-2 3

，
可得直線B'C的解析式為：y=2

3

x+6-2

3

，
由

y=2 3 x+6-2 3 x=1

，可得

x=1 y=6

，
故當(dāng)F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；

（3）如圖2，當(dāng)t秒時，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-t，則縱坐標(biāo)為-2t，則M（-2t，-2t）在拋物線上時，可得-（-2t） ²-4t+3=-2t，整理得出：4t²+2t-3=0，
解得：t=

-1± 13

4

，
當(dāng)P（-t，-2t）在拋物線上時，可得-t²-2t+3=-2t，整理得出：t²=3，
解得：t=±

3

，舍去負(fù)值，
所以若△PMQ與拋物線y=-x²+2x+m-2有公共點(diǎn)t的取值范圍是

-1+ 13

4

≤t≤

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及函數(shù)交點(diǎn)求法和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出解題方法是解題關(guān)鍵．