Question

探索、研究：
儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時(shí)應(yīng)符合下列條件：每層堆放儀器箱的個(gè)數(shù)a_n與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式a_n=n²-32n+247，1≤n＜16，n為整數(shù)．
（1）例如：當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2²-32×2+247=187，則a₅=

 

．
（2）第n層比第（n+1）層多堆放

 

個(gè)儀器箱．（用含n的代數(shù)式表示）
（3）如果不考慮儀器箱承受的壓力，根據(jù)題中條件判斷儀器箱最多可以堆放

 

層．
（4）設(shè)每個(gè)儀器箱重54N（牛頓），每個(gè)儀器箱能承受的最大壓力為160N，并且堆放時(shí)每個(gè)儀器箱承受的壓力是均勻的．
  ①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，則第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為

 

N．
  ②在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放

 

層．

Answer 1

分析：（1）把n=5代入n²-32n+247進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）分別計(jì)算a_n+1與a_n，然后計(jì)算出它們的差；
（3）a_n=n²-32n+247=（n-16）²-9≥0，即可得到n=12，即儀器箱最多可以堆放的層數(shù)；
（4）①第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力=

54×187

216

；
②第2到第五層共有594個(gè)儀器箱，則可計(jì)算出第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力為148.5＜160，可判斷最多可以堆放 5層．

解答：解：（1）a₅=5²-32×5+247=112；

（2）a_n+1-a_n=n²-32n+247-[（n+1）²-32（n+1）+247]=31-2n；

（3）a_n=n²-32n+247=（n-16）²-9≥0，
當(dāng)n=19或n=13，a=0，
∴儀器箱最多可以堆放12層；

（4）①第一層有216塊，
∴第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力=

54×187

216

=46.75（N）；
②a₁=216，a₂=187，a₃=160，a₄=135，a₅=112，
∴第1層中每個(gè)儀器箱承受的平均壓力=

54×594

216

≈148.5＜160，
所以儀器箱最多可以堆放 5層．
故答案為112；（31-2n）；12；46.75；5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，特別是二次函數(shù)的最值問(wèn)題解決實(shí)際中的最大或最小值問(wèn)題．