Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與CD垂直，進(jìn)而得到∠OCA+∠DCA=90°，由AC為角平分線，根據(jù)角平分線定義得到兩個(gè)角相等，又OA=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得到又得到另兩個(gè)角相等，等量代換后得到∠DAC=∠OCA，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA+∠DAC=90°，從而得到∠ADC為直角，得證；
（2）連接CB，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB與∠ADC相等都為直角，又根據(jù)AC為角平分線得到一對(duì)角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形ADC與三角形ABC相似，由相似得比例列出關(guān)系式，把AC和AD的長(zhǎng)即可求出AB的長(zhǎng)．
解答：解：（1）連接OC，
∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD．
∴∠OCA+∠DCA=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
則∠ADC=90°，
即AD⊥DC；

（2）連接BC．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即，
則．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．同時(shí)要求學(xué)生掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角．圓與相似三角形及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線的性質(zhì)和判定有關(guān)的證明題是近幾年中考的熱點(diǎn)試題．