Question

如圖，二次函數(shù)y=x²-5x+4的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為C，有一個(gè)動點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒一個(gè)單位向點(diǎn)A運(yùn)動，過E 作y軸的平行線，交△ABC的邊BC或AC于點(diǎn)F，以EF為邊在EF右側(cè)作正方形EFGH，設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S，E點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線AC的解析式；
（2）求當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上，G在BC邊上時(shí)t的值；
（3）求動點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動過程中，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）把y=x²-5x+4化成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，y=x²-5x+4化成（x-1）（x-4），求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)AC直線為y=kx+b，把A、C的坐標(biāo)代入就能求出直線AC的解析式；
（2）設(shè)直線BC的解析式是y=ax+c，把B、C的坐標(biāo)代入就能求出直線BC，點(diǎn)E坐標(biāo)為（4-t，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（），求出EF=，F(xiàn)G=2t-3，根據(jù)EF=FG，即可求出t的值；
（3）可分以下幾種情況：①點(diǎn)F在BC上時(shí)，如圖1重疊部分是△BEF₂，此時(shí)時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（），根據(jù)三角形的面積公式即可求出；②I如圖2，EB≤EH時(shí)重疊部分是直角梯形EFKB，此時(shí)＜t≤，根據(jù)三角形的面積公式即可求出；II如圖3，EB＞EH，點(diǎn)G在BC下方時(shí)，重疊部分是五邊形EFKMH，此時(shí)，，因?yàn)镾=S_{正方形EFGH}-S_△KMG，根據(jù)三角形的面積公式即可求出；Ⅲ．如圖4，點(diǎn)G在BC上或BC上方時(shí)，重疊部分是正方形EFGH，此時(shí)≤t＜3，
根據(jù)正方形的面積公式求出即可．
解答：（1）解：

∵y=x²-5x+4=，
頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（），
∵y=x²-5x+4=（x-1）（x-4），
∴點(diǎn)A（1，0），B（4，0），
設(shè)AC直線為y=kx+b，得，
解得：k=-，b=，
∴，
答：頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（），直線AC的解析式是．

（2）解：設(shè)直線BC的解析式是y=ax+c，
把B（4，0），C（，-）代入得：0=4a+c且-=a+c，
解得：a=，c=-6，
直線BC的解析式為，
當(dāng)F在AC邊上，G在BC邊上時(shí)，
點(diǎn)E坐標(biāo)為（4-t，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（），
得EF=，
而EF=FG，
∵拋物線的對稱軸和等腰△ABC的對稱軸重合，
∴FG=，
=2t-3，
∴=2t-3，
解得，

答：當(dāng)點(diǎn)F在AC邊上，G在BC邊上時(shí)t的值是．

（3）解：點(diǎn)E坐標(biāo)為（4-t，0）隨著正方形的移動，重疊部分的形狀不同，可分以下幾種情況：
①點(diǎn)F在BC上時(shí)，如圖1重疊部分是△BEF，
此時(shí)時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（），
=，
②點(diǎn)F在AC上時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（）又可分三種情況：
Ⅰ．如圖2，EB≤EH時(shí)重疊部分是直角梯形EFKB（設(shè)FG與直線BC交于點(diǎn)K），
此時(shí)＜t≤，
∴，
Ⅱ．如圖3，EB＞EH，點(diǎn)G在BC下方時(shí)，重疊部分是五邊形EFKMH（設(shè)FG與直線BC交于點(diǎn)K，GH與直線BC交于點(diǎn)M），
此時(shí)，，
點(diǎn)H坐標(biāo)為（），點(diǎn)M坐標(biāo)為（），
，
，
，
∴S=S_EFGH-S_△KMG=（）²，
=，
Ⅲ．如圖4，點(diǎn)G在BC上或BC上方時(shí)，重疊部分是正方形EFGH，此時(shí)≤t＜3，
∴=t²-t+，
答：動點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動過程中，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系S=t²（0＜t≤）或S=-t²+9t-（＜t≤）或S=-t²+t-（＜t＜）或S=t²-t+（≤t＜3）．
點(diǎn)評：本題主要考查對二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，三角形的面積，用十字相乘法分解因式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．