Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝2，OC＝1，矩形對角線AC、OB相交于E，過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H．

(1)①直接寫出點E的坐標(biāo)：　(1，)　．

②求證：AG＝CH．

(2)如圖2，以O為圓心，OC為半徑的圓弧交OA與D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內(nèi)一點F，求直線GH的函數(shù)關(guān)系式．

(3)在(2)的結(jié)論下，梯形ABHG的內(nèi)部有一點P，當(dāng)⊙P與HG、GA、AB都相切時，求⊙P的半徑．

Answer 1

考點：

切線的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)。

專題：

計算題；證明題。

分析：

(1)①根據(jù)矩形的性質(zhì)和邊長即可求出E的坐標(biāo)；②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，證出△CHE≌△AGE即可；

(2)連接DE并延長DE交CB于M，求出DD＝OC＝OA，證△CME≌△ADE，求出CM＝AD＝1，推出四邊形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，設(shè)CH＝HF＝x，推出(1－x)²＋()²＝(＋x)²，求出H、G的坐標(biāo)，設(shè)直線GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐標(biāo)代入求出即可；

(3)連接BG，證△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，證△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圓心P必在BG上，過P做PN⊥GA，垂足為N，根據(jù)△GPN∽△GBA，得出，設(shè)半徑為r，代入求出即可．

解答：

(1)①解：E的坐標(biāo)是：(1，)，

故答案為：(1，)；

②證明：∵矩形OABC，

∴CE＝AE，BC∥OA，

∴∠HCE＝∠EAG，

∵在△CHE和△AGE中

，

∴△CHE≌△AGE，

∴AG＝CH．

(2)解：連接DE并延長DE交CB于M，

∵DD＝OC＝1＝OA，

∴D是OA的中點，

∵在△CME和△ADE中

，

∴△CME≌△ADE，

∴CM＝AD＝2－1＝1，

∵BC∥OA，∠COD＝90°，

∴四邊形CMDO是矩形，

∴MD⊥OD，MD⊥CB，

∴MD切⊙O于D，

∵得HG切⊙O于F，E(1，)，

∴可設(shè)CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，

在Rt△MHE中，有MH²＋ME²＝HE²

即(1－x)²＋()²＝(＋x)²，

解得x＝，

∴H(，1)，OG＝2－＝，

又∵G(，0)，

設(shè)直線GH的解析式是：y＝kx＋b，

把G、H的坐標(biāo)代入得：0＝b，且1＝k＋b，

解得：k＝－，b＝，

∴直線GH的函數(shù)關(guān)系式為y＝－．

(3)解：連接BG，

∵在△OCH和△BAG中

，

∴△OCH≌△BAG，

∴∠CHO＝∠AGB，

∵∠HCO＝90°，

∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，

∴OH平分∠CHF，

∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，

∵△CHE≌△AGE，

∴HE＝GE，

在△HOE和△GBE中

，

∴△HOE≌△GBE，

∴∠OHE＝∠BGE，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，

∴∠BGA＝∠BGE，

即BG平分∠FGA，

∵⊙P與HG、GA、AB都相切，

∴圓心P必在BG上，

過P做PN⊥GA，垂足為N，

∴△GPN∽△GBA，

∴，

設(shè)半徑為r，

＝，

解得：r＝，

答：⊙P的半徑是．

點評：

本題綜合考查了矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)和勾股定理等知識點，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，但是也是一道比較好的題目．