Question

已知：如圖1，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，連接AC，tan∠CAD=，過點D作DE⊥AB，點E為垂足．
（1）求證：AE+BC=DE；
（2）連接BD，設(shè)BD與AC交于點F，DE與AC交于點G，若AG：FG=3：2，AE=6（如圖2），求線段BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DH⊥BC交BC的延長線于H，由∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°可知四邊形DEBH為矩形，故可得出∠CDH=∠ADE，再由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CH=AE，故可得出結(jié)論；
（2）過點F作FM⊥DE交DE于M，由題意可得==，故可得出AE及FM的長，由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CH=AE，根據(jù)四邊形DEBH為矩形得BE=DH；tan∠BDE=，在Rt△DFM′中可得出DM=8，F(xiàn)D=4，設(shè)AG=3a（a＞0），AG：FG=3：2，F(xiàn)G=2a，故可得出△DFG∽△AFD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出FD²的值，在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6，AE=6，在Rt△FMG中，∠FMG=90°，F(xiàn)G=4，F(xiàn)M=4，GE=6，DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，+BC=DE，BC=DE-=18-3=15．
解答：解：（1）如圖1，過點D作DH⊥BC交BC的延長線于H，
∵∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°，
∴四邊形DEBH為矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDH=∠ADE，
又∵∠DHC=∠AED=90°，
∴△DCH∽△DAE，
∴==，
∴CH=AE，
∵DE=BH而BH=BC+CH=BC+AE，
∴+BC=DE．

（2）如圖2，過點F作FM⊥DE交DE于M，
∴∠FMG=90°，
又∵∠AED=90°，
∴∠FMG=∠AED，而∠FGM=∠AGE，
∴==，
∵AE=6，
∴FM=4，
由（1）知，△DCH∽△DAE，
∴==，而由四邊形DEBH為矩形得BE=DH，
∴=，
∴tan∠BDE=，
在Rt△DFM′中，∠FMD=90°，tan∠FMD=，F(xiàn)M=4，
∴DM=8，F(xiàn)D=4，
設(shè)AG=3a（a＞0），
∵AG：FG=3：2，
∴FG=2a，
∵∠DFG=∠AFD，∠BDE=∠DAC，
∴△DFG∽△AFD，
∴=，
∴FD²=FA•FG，
∴（4）²=（3a+2a）•2a，
∴a=2，
∴FG=4，AG=6，
在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6，AE=6，
∴GM=4，
在Rt△FMG中，∠FMG=90°，F(xiàn)G=4，F(xiàn)M=4，
∴GE=6，
∴DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，
∵+BC=DE，
∴BC=DE-=18-3=15．
點評：本題考查了相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的知識，難度較大．