Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點P，Q都是斜邊AB上的動點，點P從B 向A運動（不與點B重合），點Q從A向B運動，BP=AQ．點D，E分別是點A，B以Q，P為對稱中心的對稱點， HQ⊥AB于Q，交AC于點H．當(dāng)點E到達(dá)頂點A時，P，Q同時停止運動．設(shè)BP的長為x，△HDE的面積為y．

（1）求證：△DHQ∽△ABC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；

（3）當(dāng)x為何值時，△HDE為等腰三角形？

 

Answer 1

（1）∵A、D關(guān)于點Q成中心對稱，HQ⊥AB，

∴=90°，HD=HA，

∴，

∴△DHQ∽△ABC．

（2）①如圖1，當(dāng)時，

ED=，QH=，

此時．

當(dāng)時，最大值．

②如圖2，當(dāng)時，

ED=，QH=，

此時．

當(dāng)時，最大值．

∴y與x之間的函數(shù)解析式為

y的最大值是．

（3）①如圖1，當(dāng)時，

若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，

∴=，．

顯然ED=EH，HD=HE不可能；

②如圖2，當(dāng)時，

若DE=DH，=，； 

若HD=HE，此時點D，E分別與點B，A重合，； 

若ED=EH，則△EDH∽△HDA，

∴，，．  

∴當(dāng)x的值為時，△HDE是等腰三角形.