Question

平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點A、點B，與y軸的正半軸交于點C，點 A的坐標為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸上的點P滿足∠APB=∠ACB，求點P的坐標；
（3）Q為線段BD上一點，點A關于∠AQB的平分線的對稱點為A′，若QA-QB=，求點Q的坐標和此時△QAA′的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先將已知的拋物線解析式進行配方，得出對稱軸方程后結合A點坐標可確定B點的坐標，由OB=OC的條件能得到C點坐標，利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)的解析式．
（2）此題需要進行適當轉化，首先作△ABC的外切圓，根據(jù)圓周角定理可知：P點應為拋物線對稱軸與⊙E的交點（相關字母參考解答圖，下同），那么只需求出圓心E的坐標和⊙E的半徑即可得到P點坐標．首先由A、B的坐標可確定F點的坐標以及AF的長，而弦BC的垂直平分線過點E，由此可確定該中垂線的解析式，進一步可確定點E的坐標；然后在Rt△AEF中，通過解直角三角形可得到圓的半徑長，由此求出全部條件．
（3）A、A′關于角平分線對稱，那么QA、QA′也關于該角平分線對稱，即QA=QA′，那么QA-QB的長其實就是AB的長，可由這個條件入手解答；易知點D、B的坐標，能求出∠ABD的度數(shù)（或相關三角函數(shù)值），過A′作A′N⊥x軸，在構建的Rt△A′BN中，∠A′BN的度數(shù)已求出，可得到BN、A′N的長，即可求出A′的坐標和直線A′B的解析式，然后設出點Q坐標，表示出AQ、A′Q的長，以這兩條線段相等作為等量條件求出點Q的坐標．進一步以AB為底、點A′、Q的縱坐標的差的絕對值為高可求出△AQA′的面積．
解答：解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2．
∵拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點A、點B，點A的坐標為（1，0），
∴點B的坐標為（3，0），OB=3．
可得該拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點C，
∴OC=3，點C的坐標為（0，3）．
將點C（0，3）代入該解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（如圖1）

（2）作△ABC的外接圓☉E，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為點F，設☉E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點P₁，點P₁關于x軸的對稱點為點P₂，點P₁、點P₂均為所求點．（如圖2）
可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線x=2上．
∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所對的圓周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射線FE上的其它點P都不滿足∠APB=∠ACB．
由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線y=x上．
∴點E的坐標為E（2，2）．
∴由勾股定理得 EA=．
∴EP₁=EA=．
∴點P₁的坐標為P₁（2，2+）．
由對稱性得點P₂的坐標為P₂（2，-2-）． 
∴符合題意的點P的坐標為P₁（2，2+）、P₂（2，-2-）．

（3）∵點B、D的坐標分別為B（3，0）、D（2，-1），
可得直線BD的解析式為y=x-3，直線BD與x軸所夾的銳角為45°．
∵點A關于∠AQB的平分線的對稱點為A'，（如圖3）
若設AA'與∠AQB的平分線的交點為M，
則有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三點在一條直線上．
∵QA-QB=，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=．
作A'N⊥x軸于點N．
∵點Q在線段BD上，Q，B，A'三點在一條直線上，
∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1．
∴點A'的坐標為A'（4，1）．
∵點Q在線段BD上，
∴設點Q的坐標為Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由兩點間的距離公式得 （x-1）²+（x-3）²=（x-4）²+（x-3-1）²．
解得x=．
經檢驗，x=在2＜x＜3的范圍內．
∴點Q的坐標為Q（，-）．
此時S_△QAA'=S_△A'AB+S_△QAB=•AB•（|y_A'|+|y_Q|）=×2×（1+）=．
點評：這道二次函數(shù)題由于融合了圓、解直角三角形、軸對稱圖形等重點知識，使得難度增加不少；（2）題中，將角相等轉化為圓的相關問題是打開解題突破口的關鍵，應注意并總結轉化思想在解題中的妙用．