Question

如圖示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，中位線長為5cm，高為2cm，求梯形底邊BC的長及梯形的面積．

Answer 1

解：取兩腰AB，CD的中點(diǎn)分別為E和F，連接EF，
根據(jù)梯形中位線定理得：EF=（AD+BC），
∵EF=5cm，∴AD+BC=10cm，
過A，D作出梯形的兩條高AM和DN，
∵梯形ABCD，∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠AMN=∠MND=90°，
∴四邊形AMND為矩形，
∴AD=MN，
又Rt△ABM和Rt△DCN中，
AM=DN，AB=AC，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴BM=CN，
由∠AMB=90°，∠B=45°，得△ABM為等腰直角三角形，
∴MB=AM=2cm，同理CN=DN=2cm，
設(shè)AD=MN=xcm，
則AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10，
解得：x=3，
∴BC=2+x+2=7；
∴梯形的面積S===10cm²．
答：BC=7cm，梯形的面積10cm²．
分析：取兩腰的中點(diǎn)，連接兩中點(diǎn)得到梯形的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理得到梯形的中位線等于上下底之和的一半，由中位線的長求出AD+BC的長，過A和D作出梯形的兩條高，根據(jù)三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到AMND為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等得到AD=MN，又∠B=45°，得到三角形ABM為等腰直角三角形，由高AM的長得到BM的長，同理得到CN的長，設(shè)AD=MN=xcm，由AD+BC的長列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，進(jìn)而求出BC的長，然后利用梯形的面積公式即可求出梯形ABCD的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，以及梯形中位線定理．其中等腰梯形的性質(zhì)有：同一底上的兩個(gè)角相等，對(duì)角線相等；梯形的中位線性質(zhì)是：梯形的中位線平行與底邊，且等于兩底和的一半．梯形經(jīng)常連接的輔助線有四種，分別是：作兩條高；延長兩腰；平移對(duì)角線；平移腰．