Question

（2006•寧夏）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，點B的坐標(biāo)為（-1，2），將△ABO繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁B₁O．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，點B所經(jīng)過的路徑長是多少？
（2）分別求出點A₁，B₁的坐標(biāo)；
（3）連接BB₁交A₁O于點M，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，點B所經(jīng)過的路徑長是一段弧長．但要計算弧長就要求出圓心角和半徑，所以根據(jù)點B的坐標(biāo)為（-1，2）．可知OB=，旋轉(zhuǎn)的角度是90度．利用弧長公式計算即可．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出B₁的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，1），根據(jù)B₁的坐標(biāo)，我們不難得出∠B₁OA₁的余弦值應(yīng)該是，而OB₁=，因此OA₁=5即A₁的坐標(biāo)是（0，5）．
（3）可根據(jù)B，B₁的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出BB₁所在直線的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求出M點的坐標(biāo)．
解答：解：
（1）∵點B的坐標(biāo)為（-1，2），
根據(jù)勾股定理可知OB=，
根據(jù)弧長公式可得=．

（2）作BD⊥AO于點D，
∵點B的坐標(biāo)為（-1，2），
∴OD=1，BD=2，
∴BO=，
A₁（0，5），B₁（2，1）．

（3）設(shè)BB₁所在直線的解析式為y=kx+b，因為直線過B（-1，2），B₁（2，1），可得：

解得
因此BB₁所在直線的解析式為y=-x+
因此M的坐標(biāo)應(yīng)該是M（0，）．
點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計算公式以及用待定系數(shù)法求直線解析式等知識點的應(yīng)用，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出各點的左邊是解題的關(guān)鍵．