Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐系中畫(huà)出這條拋物線；
（2）若點(diǎn)（x，y）在拋物線上，且1≤x≤4，寫(xiě)出y的取值范圍；
（3）設(shè)平行于y軸的直線x=t交線段BM于點(diǎn)P（點(diǎn)P能與點(diǎn)M重合，不能與點(diǎn)B重合），交x軸于點(diǎn)Q，四邊形AQPC的面積為S
①求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
②求S取得最大值時(shí)P的坐標(biāo)；
③設(shè)四邊形OBMC的面積為S’，判斷是否存在點(diǎn)P，使得S=S’，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，即可求出a、b、c的值，從而得出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)拋物線的解析式，分兩種情況進(jìn)行分析，當(dāng)x=1時(shí)和x=4時(shí)y的值，即可求出它們的取值范圍．
（3）本題需先根據(jù)題意設(shè)出直線BM的解析式，再把B與M點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出直線BM的解析式，從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的時(shí)候，S最大，得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S^′，也就是不存在點(diǎn)P．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴
∴
∴拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3
∴拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4）

（2）∵拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=4
當(dāng)x=4時(shí)，
y=-5，
∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，-5≤y≤4

（3）①設(shè)直線BM的解析式為y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得
，
∴
∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S_△AOC+S_梯形OQPC
=（OC+PQ）×OQ 
=+3-2t+6）×t
=（1≤t＜3）
②S=
=-（）
=-（t-²+
∴當(dāng)t=時(shí)，S最大，
∴S的最大值為，這時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）
③S=×2×4
=+4
=
∴S的最大值為

∴S=S′不可能，
∴不存在點(diǎn)P，使S=S′．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，在解題時(shí)要涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和取值范圍以及最大值問(wèn)題，在求有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．