Question

如圖所示，已知m、n是方程的兩個實數(shù)根，且m<n，拋物線的圖像經(jīng)過點A(m，0)、B(0，n)．

 

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；

（注：拋物線的頂點坐標(biāo)為

（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比

為2：3的兩部分，請求出P點的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）C（－5，0），D（－2，9），15；（3）或

【解析】

試題分析：（1）先解方程得，即可得到點A、B的坐標(biāo)，再將A、B的坐標(biāo)分別代入，即可得到結(jié)果；

（2）由，令y＝0，即可求得C點的坐標(biāo)，再由頂點坐標(biāo)公式計算得點D的坐標(biāo)，過D作x軸的垂線交x軸于M，則，，，

所以；

（3）設(shè)P點的坐標(biāo)為（a，0），由線段BC過B、C兩點即可求得BC所在的直線方程，從而得到PH與直線BC的交點坐標(biāo)，表示出PH與拋物線的交點坐標(biāo)，再分①，②兩種情況即可求得結(jié)果.

（1）解方程，得 

由m<n，有m＝1，n＝5 所以點A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）．

將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入．

得解這個方程組，得

所以拋物線的解析式為；

（2）由，令y＝0，得  

解這個方程，得

所以C點的坐標(biāo)為（－5，0）．

由頂點坐標(biāo)公式計算，得點D（－2，9）．

過D作x軸的垂線交x軸于M

    

則

， 

所以，. 

（3）設(shè)P點的坐標(biāo)為（a，0）

因為線段BC過B、C兩點，所以BC所在的直線方程為y＝x+5．

那么，PH與直線BC的交點坐標(biāo)為E(a，a+5)， 

PH與拋物線的交點坐標(biāo)為 

由題意得①，即

解這個方程，得或（舍去）

②，即

解這個方程，得或（舍去），

∴P點的坐標(biāo)為或.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學(xué)生對二次函數(shù)的性質(zhì)的熟練掌握情況.