Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)M在OA上運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；當(dāng)t為何值時(shí)，MN∥OC；
（2）設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）連接AC，那么是否存在這樣的t，使MN與AC互相垂直？若存在，求出這時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求線段AB的長(zhǎng)可通過(guò)構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解．過(guò)B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．
如果MN∥OC，那么△AMN∽△ABD，可的關(guān)于AN，AB，AM，AD的比例關(guān)系，其中AN=t，AM=6-t，AD=3，AB=5，由此可求出t的值．
（2）由于三角形CMN的面積無(wú)法直接求出，因此可用其他圖形的面積的“和，差”關(guān)系來(lái)求．△CMN的面積=梯形AOCB的面積-△OCM的面積-△AMN的面積-△CBN的面積．
可據(jù)此來(lái)得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最小值．
（3）易得△NME∽△ACO，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出的等量關(guān)系即可得出此時(shí)t的值．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，
則四邊形CODB是矩形，
BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3．
在Rt△ABD中，AB=

32+42

=5．
當(dāng)MN∥OC時(shí)，MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，

AN

AB

=

AM

AD

．
∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，
∴

t

5

=

6-t

3

，
即t=

15

4

（秒）．

（2）過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵NE∥BD，
∴△AEN∽△ADB，

EN

DB

=

AN

AB

．
即

EN

4

=

t

5

，EN=

4

5

t．
∵EF=CO=4，
∴FN=4-

4

5

t．
∵S=S_梯形OABC-S_△COM-S_△MNA-S_△CBN，
∴S=

1

2

CO（OA+CB）-

1

2

CO•OM-

1

2

AM•EN-

1

2

CB•FN，
=

1

2

×4×（6+3）-

1

2

×4t-

1

2

×（6-t）×

4

5

t-

1

2

×3×（4-

4

5

t）．
即S=

2

5

t²-

16

5

t+12（0≤t≤5）．
由S=

2

5

t²-

16

5

t+12，
得S=

2

5

（t-4）²+

28

5

．
∴當(dāng)t=4時(shí)，S有最小值，且S_最小=

28

5

．

（3）設(shè)存在點(diǎn)P使MN⊥AC于點(diǎn)P
由（2）得AE=

3

5

t   NE=

4

5

t
∴ME=AM-AE=6-t-

3

5

t=6-

8

5

t，
∵∠MPA=90°，
∴∠PMA+∠PAM=90°，
∵∠PAM+∠OCA=90°，
∴∠PMA=∠OCA，
∴△NME∽△ACO
∴NE：OA=ME：OC
∴

4 5 t

6

=

6- 8 5 t

4

 解得t=

45

16

∴存在這樣的t，且t=

45

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了梯形的性質(zhì)考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的基本思路．