Question

（根據(jù)課本習題改編）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形，若設(shè)正方形的邊長為x，容易算出x的長為．
探究與計算：
（1）如圖2，若三角形內(nèi)有并排的兩個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，則正方形的邊長為______；
（2）如圖3，若三角形內(nèi)有并排的三個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，則正方形的邊長為______；
（3）如圖4，若三角形內(nèi)有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，請你猜想正方形的邊長是多少？并對你的猜想進行證明．

Answer 1

【答案】分析：利用相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比可列出關(guān)于x的方程求解即可．如三角形內(nèi)有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，設(shè)正方形的邊長是x，則過點C作CN⊥AB，垂足為N，交GF于點M，易得△CGF∽△CAB，所以，即解得x=．
解答：解：（1）；（2分）

（2）；（2分）

（3）若三角形內(nèi)有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，正方形的邊長是．（2分）
證明，如圖，
過點C作CN⊥AB，垂足為N，交GF于點M，
設(shè)小正方形的邊長為x，
∵四邊形GDEF為矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=，
∴，即，
∴x=．
即小正方形的邊長是．（4分）
點評：主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．會利用三角形相似中的相似比來得到相關(guān)的線段之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．