Question

如圖，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是邊AB上的一個動點，⊙P的半徑為定長．當點P與點B重合時，⊙P恰好與邊AC相切；當點P與點B不重合，且⊙P與邊AC相交于點M和點N時，設AP=x，MN=y．
（1）求⊙P的半徑；
（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當AP=6

5

時，試比較∠CPN與∠A的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥AC，垂足為點D．則BD就是⊙P的半徑．根據(jù)已知條件可求得sinA，即可得出BD，即⊙P的半徑；
（2）作PH⊥MN，垂足為點H，由垂徑定理，得MN=2MH．即可表示出PH，從而得出y關于x的函數(shù)解析式．
（3）當AP=6

5

時，可求出AM、CN．可證出△AMP∽△PNC，從而得出∠CPN與∠A的大小．

解答：解：（1）作BD⊥AC，垂足為點D
∵⊙P與邊AC相切，
∴BD就是⊙P的半徑．
∵cotA=2，
∴sinA=

5

5

．（1分）
又∵sinA=

BD

AB

，AB=15，
∴BD=3

5

．（2分）

（2）作PH⊥MN，垂足為點H．
由垂徑定理，得MN=2MH．（1分）
而PH=

5

5

x，PM=BD=3

5

，（1分）
∴y=2

45- 1 5 x2

，即y=

2

5

1125-5x2

．（2分）
定義域為3

5

≤x＜15．（1分）

（3）當AP=6

5

時，∠CPN=∠A．（1分）
證明如下：
當AP=6

5

時，PH=6，MH=3，AH=12，
∴AM=9．（1分）
∵AC=20，MN=6，
∴CN=5．（1分）
∵

AM

MP

=

9

3 5

=

3 5

5

，

PN

CN

=

3 5

5

，
∴

AM

MP

=

PN

CN

．（1分）
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM．
∴∠AMP=∠PNC．（1分）
∴△AMP∽△PNC．（1分）
∴∠CPN=∠A．

點評：本題是一道中考壓軸題，考查了切線的性質和垂徑定理以及相似三角形的判定，難度偏大．