Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，以3為半徑的⊙B與y軸相切，直線l過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且和⊙B相切，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求直線l的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和B，頂點(diǎn)在⊙B上，求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)E在直線l上，且以A為圓心，AE為半徑的圓與⊙B相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)B作BD⊥直線l于D，由于直線l與⊙B相切，那么BD=3，進(jìn)而可求得AD=4，即可得到∠CAO的余切值，從而在Rt△CAO中，根據(jù)OA的長(zhǎng)，求得OC的值，也就能得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線l的解析式；
（2）若拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)O、B兩點(diǎn)，那么拋物線的頂點(diǎn)必為線段OB的垂直平分線與⊙B的交點(diǎn)，過(guò)OB的中點(diǎn)F作OB的垂線，交⊙B于H，那么點(diǎn)H即為拋物線的頂點(diǎn)，連接BH，通過(guò)解直角三角形，易求得BF、FH的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式；
（3）此題要分兩種情況考慮：
①兩圓外切，那么AE=AO=2，利用∠CAO的正弦值和余弦值，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，
②兩圓內(nèi)切，那么AE=8，同①可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)B作BD垂直l交于點(diǎn)D，
∵⊙B與l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD=

(5)2-(3)2

=4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=

4

3

，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k=

3

4

，
∴y=

3

4

x+1.5；

（2）過(guò)OB的中點(diǎn)F作HF垂直于x軸交⊙B于點(diǎn)H，連接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF=

(3)2-(1.5)2

=

3

2

3

，
∴H(

3

2

，-

3

2

3

)，
將O（0，0）、B（3，0）、H(

3

2

，-

3

2

3

)代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y=

2

3

3

x2-2

3

x；

（3）當(dāng)兩圓外切時(shí)，AE=2，
作EN⊥x軸于點(diǎn)N．則△AEN∽△ABD，
∴

EN

BD

=

AE

AB

，即

EN

3

=

2

5

，解得：EN=

6

5

，
把y=

6

5

代入y=

3

4

x+1.5得：x=-

2

5

，則E的坐標(biāo)是：（-

2

5

，

6

5

），
同理，當(dāng)E在A的左側(cè)時(shí)坐標(biāo)是：（-

18

5

，-

6

5

）；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，AE=8，同上可求得：E（

22

5

，

24

5

）或（-

42

5

，-

24

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、函數(shù)解析式的確定、拋物線的對(duì)稱性、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，難度適中．