【題目】已知拋物線過點(diǎn)
,
兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,
.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)A作,垂足為M,求證:四邊形ADBM為正方形;
(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn),問:是否存在最小值?若存在,求岀這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:,頂點(diǎn)
;(2)證明見解析;(3)點(diǎn)
;(4)存在,
的最小值為
.
【解析】
(1)設(shè)交點(diǎn)式,利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可;
(2)先證明四邊形ADBM為菱形,再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形即可得證;
(3)先求出直線BC的解析式,過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)N
,根據(jù)
可得關(guān)于x的二次函數(shù),繼而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;
(4)存在,如圖,過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作
,垂足為H,交y軸于點(diǎn)Q, 此時(shí)
,則
最小值
,求出直線HC、AH的解析式即可求得H點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)行求得AH的長(zhǎng)即可得答案.
(1)函數(shù)的表達(dá)式為:,
即:,解得:
,
故拋物線的表達(dá)式為:,
則頂點(diǎn);
(2),
,
∵A(1,0),B(3,0),∴ OB=3,OA=1,
∴AB=2,
∴,
又∵D(2,-1),
∴AD=BD=,
∴AM=MB=AD=BD,
∴四邊形ADBM為菱形,
又∵,
菱形ADBM為正方形;
(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得:,
解得:,
所以直線BC的表達(dá)式為:y=-x+3,
過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N,
設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)N
,
則,
,故
有最大值,此時(shí)
,
故點(diǎn);
(4)存在,理由:
如圖,過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作
,垂足為H,交y軸于點(diǎn)Q,
此時(shí),
則最小值
,
在Rt△COF中,∠COF=90°,∠FOC=30°,OC=3,tan∠FCO=,
∴OF=,
∴F(-,0),
利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為:…①,
∵∠COF=90°,∠FOC=30°,
∴∠CFO=90°-30°=60°,
∵∠AHF=90°,
∴∠FAH=90°-60°=30°,
∴OQ=AOtan∠FAQ=,
∴Q(0,),
利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為:…②,
聯(lián)立①②并解得:,
故點(diǎn),而點(diǎn)
,
則,
即的最小值為
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若函數(shù)與
軸的交點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
,
,與
軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
,若
,
中至少存在一個(gè)值,滿足
(或
),則稱該函數(shù)為友好函數(shù).如圖,函數(shù)
與
軸的一個(gè)交點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為-3,與
軸交點(diǎn)
的縱坐標(biāo)為-3,滿足
,稱
為友好函數(shù).
(1)判斷是否為友好函數(shù),并說明理由;
(2)請(qǐng)?zhí)骄坑押煤瘮?shù)表達(dá)式中的
與
之間的關(guān)系;
(3)若是友好函數(shù),且
為銳角,求
的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為6的正方形中,
分別是
上的點(diǎn),
,
為垂足.
(1)如圖①, AF=BF,AE=2,點(diǎn)T是射線PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí),求AT的長(zhǎng);
(2)如圖②,若,連接
,求證:
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校藝術(shù)節(jié)計(jì)劃為學(xué)生購買A、B兩種獎(jiǎng)品,已知購買40件A種獎(jiǎng)品和購買60件B種獎(jiǎng)品共需2600元,購買35件A種獎(jiǎng)品和購買70件B種獎(jiǎng)品共需2800元.
(1)求A、B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各為多少元?
(2)若學(xué)校購買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件,且購買這批獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不超過2800元,求最多購買B獎(jiǎng)品多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的方格紙中,將等腰△ABC繞底邊BC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°.
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;
(2)觀察:旋轉(zhuǎn)后得到的三角形與原三角形拼成什么圖形?
(3)若要使拼成的圖形為正方形,那么△ABC應(yīng)滿足什么條件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,F是⊙O上一點(diǎn),∠BAF的平分線交⊙O于點(diǎn)E,交⊙O的切線BC于點(diǎn)C,過點(diǎn)E作ED⊥AF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若點(diǎn)G 為AE上一點(diǎn),求OG+EG最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,
,點(diǎn)
在邊
上運(yùn)動(dòng),連接
,以
為一邊且在
的右側(cè)作正方形
.
(1)如果,如圖①,試判斷線段
與
之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如果,如圖②,(1)中結(jié)論是否成立,說明理由.
(3)如果,如圖③,且正方形
的邊
與線段
交于點(diǎn)
,設(shè)
,
,
,請(qǐng)直接寫出線段
的長(zhǎng).(用含
的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】廬陽春風(fēng)體育運(yùn)動(dòng)品商店從廠家購進(jìn)甲,乙兩種T恤共400件,其每件的售價(jià)與進(jìn)貨量(件)之間的關(guān)系及成本如下表所示:
T恤 | 每件的售價(jià)/元 | 每件的成本/元 |
甲 | 50 | |
乙 | 60 | |
(1)當(dāng)甲種T恤進(jìn)貨250件時(shí),求兩種T恤全部售完的利潤是多少元;
(2)若所有的T恤都能售完,求該商店獲得的總利潤(元)與乙種T恤的進(jìn)貨量
(件)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,已知兩種T恤進(jìn)貨量都不低于100件,且所進(jìn)的T恤全部售完,該商店如何安排進(jìn)貨才能使獲得的利潤最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與
軸交于
、
兩點(diǎn),與
軸交于點(diǎn)
,已知
,
.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)是直線
上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)
作
軸的平行線交直線
于點(diǎn)
,作
于點(diǎn)
,當(dāng)點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
時(shí),求
的面積;
(3)若點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)
為圓心,
為半徑作
,當(dāng)
在運(yùn)動(dòng)過程中與直線
相切時(shí),求點(diǎn)
的坐標(biāo)(請(qǐng)直接寫出答案).
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