(2010•泰州)如圖,⊙O是O為圓心,半徑為的圓,直線y=kx+b交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn).
(1)若OA=OB
①求k;
②若b=4,點(diǎn)P為直線AB上一點(diǎn),過P點(diǎn)作⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為C、D,若∠CPD=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若,且直線y=kx+b分⊙O的圓周為1:2兩部分,求b.

【答案】分析:(1)①由OA=OB,設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=kx+b即可求得k;
②由題意得,Rt△POC≌Rt△POD∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°算出OP的長,則P點(diǎn)坐標(biāo)即可確定;
(2)根據(jù)題意,當(dāng)直線被⊙O切割的弦長對應(yīng)的劣弧的圓心角為120°時(shí),求出b即可.
解答:解:(1)①由OA=OB,設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)(a,0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)(0,a),
把這兩點(diǎn)代入直線的解析式y(tǒng)=kx+b得:,
解得:k=-1.
②由題意得,Rt△POC≌Rt△POD,
∴∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°,OP=OC=R=,
又∵直線的函數(shù)解析式y(tǒng)=-x+4,
故設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(x,-x+4)
OP==,解得:x=1或3
∴P(1,3)或(3,1)
(2)由題意得,當(dāng)直線被切割的弦所對的圓周角為120°時(shí),
弦長為2Rsin60°=R時(shí),弦分圓周為1:2,符合題意,
聯(lián)立直線和圓的方程得,

將①代入②消去y得x2+(-+b)2=5,即x2-bx+b2-5=0
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=b2-b2+16=-b2+16,
將①代入②消去x得 (2b-2y)2+y2=5,即5y2-8by+4b2-5=0
利用根與系數(shù)的關(guān)系可得(y1-y22=(y1+y22-4y1y2=b2-b2+16=-b2+16,
將解得的兩交點(diǎn)坐標(biāo)用兩點(diǎn)間距離公式得=
解得:b=±
點(diǎn)評:本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用,題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵.
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(2010•泰州)如圖,拋物線y=-x2+c與x軸交于點(diǎn)A、B,且經(jīng)過點(diǎn)D(-
(1)求c;
(2)若點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn),且直線AC把四邊形ABCD分成面積相等的兩部分,試說明AC平分BD,且求出直線AC的解析式;
(3)x軸上方的拋物線y=-x2+c上是否存在兩點(diǎn)P、Q,滿足Rt△AQP全等于Rt△ABP?若存在,求出P、Q兩點(diǎn);若不存在,請說明理由.

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