Question

（2005•豐臺區(qū)）如圖，已知平面直角坐標系中三點A（2，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），連接BP，過P點作PC⊥PB交過點A的直線a于點C（2，y）
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）當x取最大整數時，求BC與PA的交點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可用相似三角形來求，根據相似三角形BPO和PCA，可得出關于OB、OP、PA、AC的比例關系式，由此可得出關于x，y的函數關系式．（要注意P點的橫坐標和C點的縱坐標都是負數）．
（2）根據（1）得出的函數解析式即可得出x的最大整數值，代入拋物線的解析式中即可求出C點的坐標，然后根據B、C的坐標，求出直線BC的解析式，即可求出直線BC與x軸交點Q的坐標．
解答：解：（1）∵PC⊥PB，BO⊥PO
∴∠CPA+∠OPB=90°，∠PBO+∠OPB=90°
∴∠CPA=∠PBO
∵A（2，0），C（2，y）在直線a上
∴∠BOP=∠PAC=90°
∴△BOP∽△PAC
∴，
∴，
∵x＜0，y＜0，
∴
∴y=-x²+x．

（2）∵x＜0，
∴x的最大整數值為-1
當x=-1時，y=-，
∴C點的坐標為（2，-）；
設直線BC的解析式為y=kx+2，將C點坐標代入后可得：
2k+2=-，k=-，
因此直線BC的解析式為y=-x+2．
當y=0時，0=-x+2，x=．
因此Q點的坐標為（，0）．
點評：本題考查了三角形相似、一次函數及二次函數的綜合應用等知識點．考查學生數形結合的數學思想方法．