Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2)

 

 

 

 

 

（1）問：始終與△AGC相似的三角形有     及    ；

（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由）

（3）問：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形.

 

Answer 1

解：（1）△HAB ，△HGA。

          （2）∵△AGC∽△HAB，∴，即。

               ∴。

               又∵BC=。

               ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為。

          （3）①當(dāng)∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角時(shí)，如圖1，

                  可知。

               ②當(dāng)∠GAH= 45°是等腰三角形.的頂角時(shí), 如圖2，

                 在△HGA和△AGC中

                 ∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=45⁰，

                 ∴△HGA∽△AGC。

                 ∵AG=AH，∴

               ∴當(dāng)或時(shí)，△AGH是等腰三角形。

解析:（1）在△AGC和△HAB中，

           ∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+90⁰—∠GAC=135⁰—∠GAC，

             ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=90⁰+45⁰—∠GAC，

           ∴∠AGC=∠BAH。

           又∵∠ACG=∠HBA=45⁰，∴△AGC∽△HAB。

           在△AGC和△HGA中，

           ∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=45⁰—∠CAF，

              ∠H=180⁰-∠ACH—∠CAH=180⁰—135⁰—∠CAF=45⁰—∠CAF，

            ∴∠CAG=∠H。

            又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。

       （2）利用△AGC∽△HAB得對(duì)應(yīng)邊的比即可得。

       （3）考慮∠GAH是等腰三角形.底角和頂角兩種情況分別求解即可。