Question

如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q。

（1）在線(xiàn)段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長(zhǎng)。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）CD是⊙O的切線(xiàn),。理由如下：

連接OC，

∵OC=OB，∴∠B=∠BCO。

又∵DC=DQ，∴∠Q=∠DCQ。

∵PQ⊥AB，∴∠QPB=90°。

∴∠B+∠Q=90°�！唷螧CO +∠DCQ =90°。

∴∠DCO=∠QCB－(∠BCO +∠DCQ)=180°－90°=90°。

∴OC⊥DC。

∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)。

（2）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。

在Rt△ABC中，BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×，

在Rt△BPQ中，，

∴。

【解析】

試題分析：（1）應(yīng)用等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)、直角三角形兩銳角到余的關(guān)系和平角的性質(zhì)，證明∠DCO=90°，即可得出結(jié)論。

（2）在Rt△ABC和Rt△BPQ中應(yīng)用銳角三角函數(shù)求出BC和BQ的長(zhǎng)，由求出結(jié)果。