如圖直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求BC的長;
(2)動點P從點B出發(fā),以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點D運動;動點Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿C→D方向向點D運動;過點Q作QF⊥BC于點F.若P、Q兩點同時出發(fā),當其中一點到達終點時整個運動隨之結束,設運動時間為t秒.問:在運動過程中,是否存在這樣的t,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)過點D作DE⊥BC于點E,然后求出AD=BE=2,AB=DE=8,在Rt△DEC中,根據(jù)CE=求出CE,即可求出BC的長;
(2)(i)當0≤t≤8時,過點Q作QG⊥AB于點G,過點Q作QF⊥CB于點F,根據(jù)△CQF∽△CDE得出==,所以CF=,QF=t,所以PG=t-=t,QG=8-,然后分別用t表示出PD2=t2-16t+68,PQ2=,若DQ=PD,則(10-t)2=t2-16t+68,若DQ=PQ,則(10-t)2=,最后解方程即可;
(ii)當8<t<10時,PD=DQ=10-t,此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立;而當t=10時,點P、D、Q三點重合,無法構成三角形;
(iii)當10<t≤12時,PD=DQ=t-10,此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立,從而得出最后答案.
解答:解:(1)過點D作DE⊥BC于點E
∵四邊形ABCD是直角梯形
∴四邊形ABED是矩形
∴AD=BE=2,AB=DE=8
在Rt△DEC中,CE===6
∴BC=8.

(2)(i)當0≤t≤8時,過點Q作QG⊥AB于點G,過點Q作QF⊥CB于點F.
∵BP=t,CQ=t,
∴AP=8-t,DQ=10-t,
∵DE⊥BC,QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
==
==
∴CF=,QF=t,
∴PG=t-=t,QG=8-,
∴PD2=AP2+AD2=(8-t)2+22=t2-16t+68,
∴PQ2=QG2+PG2=(8-2+(t)2=,
若DQ=PD,則DQ2=PD2,
(10-t)2=t2-16t+68,
解得:t=8;
若DQ=PQ,則DQ2=PQ2,
(10-t)2=
解得:t1=,t2=>8(舍去),
此時t=
(ii)當8<t<10時,PD=DQ=10-t,
∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立;
而當t=10時,點P、D、Q三點重合,無法構成三角形;
(iii)當10<t≤12時,PD=DQ=t-10,
此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立;
綜上,當t=或8≤t<10或10<t≤12時,以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.
點評:本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,關鍵是列出方程,并對求出的結果與本題相結合,要注意的是(2)中,要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠BCD=45°,AD=2,BC=3,將腰CD以D為中心逆時針旋轉90°至ED,連AE、CE,則△ADE的面積是(  )
A、1B、2C、3D、不能確定

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,將腰CD以D為中心逆時針旋轉90°至ED,連AE、CE,則△ADE的面積是( �。�
A、1B、2C、3D、不能確定

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=1,BC=3,以D為旋轉中心,CD逆時針旋轉90°得DE,則AE=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求BC的長;
(2)動點P從點B出發(fā),以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點D運動;動點Q從點C出發(fā),以1cm/s的速度沿C→D方向向點D運動;過點Q作QF⊥BC于點F.若P、Q兩點同時出發(fā),當其中一點到達終點時整個運動隨之結束,設運動時間為t秒.問:在運動過程中,是否存在這樣的t,使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖直角梯形ABCD的中位線EF的長為a,垂直于底的腰AB長為b,則圖中陰影部分的面積為( �。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案