Question

正方形OCED與扇形OAB有公共頂點(diǎn)0，分別以O(shè)A，0B所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖所示．正方形兩個(gè)頂點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸正半軸上移動(dòng)．設(shè)OC=x，OA=3
（1）當(dāng)x=1時(shí)，正方形與扇形不重合的面積是

 

；此時(shí)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是

 

；
（2）當(dāng)直線CD與扇形OAB相切時(shí)．求直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)正方形有頂點(diǎn)恰好落在

AB

上時(shí)，求正方形與扇形不重合的面積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，正方形與扇形不重合的面積=

1

4

π×9-1=

9

4

π-1，直線過點(diǎn)（0，1），（1，0）用待定系數(shù)法求得直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+1；
（2）直線CD與扇形AOB切于點(diǎn)P，連接OP，則OP⊥CD，根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求得直線與x，y軸的交點(diǎn)后用待定系數(shù)法求直線的解析式；
（3）分兩種情況，根據(jù)扇形的面積公式和正方形的面積公式求解．

解答：解：（1）

9

4

π-1，y=-x+1；

（2）設(shè)直線CD與扇形AOB切于點(diǎn)P，連接OP，則OP⊥CD；
∵CD為正方形OCED的對(duì)角線，
∴∠OCD=∠ODC=45°；
在Rt△OCP中，
∵OP=OA=3，sin∠OCP=

OP

OC

，
∴OC=

OP

sin∠OCP

=3

2

；
∴C（3

2

，0），D（0，3

2

）；
設(shè)直線C，D的解析式為y=kx+b，把C、D代入得，
∴

3 2 k+b=0 b=3 2

∴k=-1；
∴y=-x+3

2

；

（3）①如圖a，當(dāng)點(diǎn)E落在弧AB上時(shí)，連接OE．則OE=OA=3；
∴S_不重合=S_扇AOB-S_正OCED=

9

4

π-

9

2

；
②如圖b，當(dāng)點(diǎn)C、D分別與A、B重合時(shí)，OC=OA=3；
∴S_不重合=S_正OCED-S_扇AOB=9-

9

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的概念、一次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)．