Question

如圖，將一三角板放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于Q．
探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x．
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與PB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的猜想；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出函數(shù)自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置．并求出相應(yīng)的x值，如果不可能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）PQ=PB，過(guò)P點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、DC于點(diǎn)M、N，可以證明Rt△MBP≌Rt△NPQ；
（2）S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ分別表示出△PBC于△PCQ的面積就可以．
（3）△PCQ可能成為等腰三角形．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，PQ=QC，
②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，就可以用x表示出面積．

解答：解：（1）PQ=PB，（1分）
過(guò)P點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、DC于點(diǎn)M、N，
在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵

∠PMB=∠PNQ=90° BM=PN ∠MBP=∠NPQ

∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）
∴PB=PQ．

（2）∵S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=

2

2

x，
∴CQ=CD-2NQ=1-

2

x，
又∵S_△PBC=

1

2

BC•BM=

1

2

•1•（1-

2

2

x）=

1

2

-

2

4

x，
S_△PCQ=

1

2

CQ•PN=

1

2

（1-

2

x）•（1-

2

2

x），
=

1

2

x2-

3 2

4

x+

1

2

，
∴S_{四邊形PBCQ}=

1

2

x2-

2

x+1．（0≤x≤

2

2

）．（4分）

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，
PQ=QC，此時(shí)，x=0．（5分）
②當(dāng)點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ時(shí)，（6分）
有：QN=AM=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
∴當(dāng)

2

-x=

2

x-1時(shí)，x=1．（7分）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形及直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的綜合運(yùn)用．