Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2（n+1）x+n²-

7

2

=0．
（1）當(dāng)n為何值時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？
（2）設(shè)x₁，x₂是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根且x₁²+x₂²=5，求n的值．

Answer 1

分析：（1）判斷上述方程的根的情況，只要根的判別式△=b²-4ac＞0即可得出答案．
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，進(jìn)而得出關(guān)于n的一元二次方程求出即可．

解答：解：（1）∵原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4（n+1）²-4（n²-

7

2

）=8n+18＞0，
∴n＞-

9

4

，

（2）∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
∴[-2（n+1）]²-2（n²-

7

2

）=5，
整理得出：n ²+4n+3=0，
解得：n ₁=-1，n ₂=-3．

點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程中根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．