Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B，C兩點，交y軸于點D，E兩點．
（1）求點B，C，D的坐標(biāo)；
（2）如果一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過B，C，D三點，求這個二次函數(shù)解析式；
（3）P為x軸正半軸上的一點，過點P作與圓A相離并且與x軸垂直的直線，交上述二次函數(shù)圖象于點F，當(dāng)△CPF中一個內(nèi)角的正切之為時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：由題意可知AC=5，OA=3，根據(jù)勾股定理可知，OC=4，可知C點坐標(biāo)，同理求出B點坐標(biāo)，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D點坐標(biāo)．
（1）∵點A的坐標(biāo)為（0，-3），線段AD=5，∴點D的坐標(biāo)（0，2）．
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．
∴點C的坐標(biāo)為（4，0）；
同理可得點B坐標(biāo)為（-4，0）．

（2）已知B，C，D三點坐標(biāo)，設(shè)出解析式，代入即可求出函數(shù)解析式．
設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，D三點，則
解得
∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2；

（3）根據(jù)圖象可知，正切為，則∠cpf為直角，設(shè)出P點坐標(biāo)，然后表示出CP，PF的長度，然后分情況討論=還是，或是兩者都可，求出P點坐標(biāo)．
設(shè)點P坐標(biāo)為（t，0），由題意得t＞5，
且點F的坐標(biāo)為（t，-t²+2），PC=t-4，PF=t²-2，
∵∠CPF=90°，∴當(dāng)△CPF中一個內(nèi)角的正切值為時，
①若時，即，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②當(dāng)時，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
所以所求點P的坐標(biāo)為（12，0）．
解答：解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（0，-3），線段AD=5，
∴點D的坐標(biāo)（0，2）．（1分）
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4．（1分）
∴點C的坐標(biāo)為（4，0）；（1分）
同理可得點B坐標(biāo)為（-4，0）．（1分）

（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，D三點，則（3分）
解得
∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2；（1分）

（3）設(shè)點P坐標(biāo)為（t，0），由題意得t＞5，（1分）
且點F的坐標(biāo)為（t，-t²+2），PC=t-4，PF=t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴當(dāng)△CPF中一個內(nèi)角的正切值為時，
①若時，即，解得t₁=12，t₂=4（舍）；（1分）
②當(dāng)時，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），（1分）
所以所求點P的坐標(biāo)為（12，0）．（1分）
點評：本題旨在考查圓在坐標(biāo)中出現(xiàn)的問題，圓與拋物線交點問題，以及三角形中正切的概念．