(2006•黔東南州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知:△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(4,6)、B(0,0)、C(6,0).
(1)求AO、AB所在直線的函數(shù)解析式;
(2)在△AOB內(nèi)可以作一個正方形CDEF,使它的三個頂點分別落在邊AO、AB上,E、F兩個頂點落在OB上,請求出這個正方形四個頂瞇的坐標(biāo),并在圖中畫出這個正方形;
(3)連接OC,在線段OC上任取一點P,過P作與x軸、y軸的不行線與OA、OB分別交于M、N兩點,過M作OB邊的垂線與OB交于H;你有什么發(fā)現(xiàn)?請寫出來,并說明理由.

【答案】分析:(1)因為△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(4,6)、B(0,0)、C(6,0),所以可設(shè)OA所在直線的解析式為:y=k1x,把A(4,6)代入得到關(guān)于k1的方程,解之即可;可設(shè)AB所在直線的解析式為:y=k2x+b,把A(4,6)、B(6,0)代入得到關(guān)于k2、b的方程組,解之即可;
(2)因為在△AOB內(nèi)可以作一個正方形CDEF,使它的三個頂點分別落在邊AO、AB上,E、F兩個頂點落在OB上,所以可過A作AS⊥OB于S,交CD于T,利用DC∥EF,可得△ADC∽△AOB,利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比,可得,由點的坐標(biāo)可知OB=6,AS=6,所以AT=DC=TS=3,故可設(shè)D(x,3),利用D(x,3)在的圖象上,求出x的值就求出了D的坐標(biāo);同樣可設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,3),因為CD=3,結(jié)合D的橫坐標(biāo)可得到x-2=3,即x=5,就可求出C(5,3),根據(jù)CDEF是正方形,即可寫出E、F的坐標(biāo).
(3)因為DC∥PM∥HN,PN∥FC∥HM,可得,,MHNP是平行四邊形,利用四邊形EFCG是正方形,DC=CF,可得MP=NP,而MH⊥OB,PN⊥OB,所以四邊形MHNP是正方形.
解答:解:(1)設(shè)OA所在直線的解析式為:y=k1x,
把A(4,6)代入得4k1=6,∴
∴AO所在直線的解析式為:(2分)
設(shè)AB所在直線的解析式為:y=k2x+b,
把A(4,6)、B(6,0)代入得,
解得,
∴AB所在直線的解析式為:y=-3x+18.(4分)

(2)過A作AS⊥OB于S,交CD于T.
∵DC∥EF,
∴△ADC∽△AOB,

∵A(4,6),B(6,0),
∴OB=6,AS=6,,
∴AT=DC=TS=3,故可設(shè)D(x,3),
∵D(x,3)在的圖象上,
∴x=2,故D(2,3),(6分)
可設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,3)
∵CD=3,
∴x-2=3,即x=5,
∴C(5,3),(7分)
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF,
∴E、F兩點的坐標(biāo)分別為:E(2,0)、F(5,0).(8分)

(3)四邊形MHNP是矩形.(9分)
∵DC∥PM,PN∥FC
(10分)

又∵四邊形EFCG是正方形,DC=CF.
∴MP=NP,而MH⊥OB,PN⊥OB,
∴四邊形MHNP是正方形.(12分)
點評:本題的解決需利用待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、正方形的判定這些知識,另外解決這類問題常用到數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
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