Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4，DC=6，求AD的長(zhǎng)．
小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題．
請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形．

（2）設(shè)AD=x，則AE=EG=GF=x．
∵BD=4，DC=6
∴BE=4，CF=6
∴BG=x-4，CG=x-6
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²．
化簡(jiǎn)得，x²-10x-24=0
解得x₁=12，x₂=-2（舍去）
所以AD=x=12．