Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點D將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，將一個足夠大的直角三角板的頂點P從D點出發(fā)沿線段DA→AB移動，且一直角邊始終經(jīng)過點D，另一直角邊所在直線與直線DE，BC分別交于點M，N．

（1）填空：D點坐標(biāo)是（　　，　　），E點坐標(biāo)是（　　，　　）；

（2）如圖1，當(dāng)點P在線段DA上移動時，是否存在這樣的點M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，當(dāng)點P在線段AB上移動時，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，2），記△DBN的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S隨x增大而減小時所對應(yīng)的自變量x的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，0），（2，2）。

（2）存在點M使△CMN為等腰三角形，M點的坐標(biāo)為：（2，0），（2，4），（2，﹣4）。

（3）S隨x增大而減小時，0≤x≤2或4≤x≤6。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點的坐標(biāo)，再根據(jù)DE=OD=2，求出E點的坐標(biāo)：

∵將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，

∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，∴OA=OD。

∵OA=2，∴OD=2�！郉點坐標(biāo)是（2，0），DE=OD=2�！郋點坐標(biāo)是（2，2）。

（2）由翻折可知四邊形AODE為正方形，過M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=，再根據(jù)直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，設(shè)MN的解析式為y=x+b，根據(jù)DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），，CN=6+b，MN=。分CM=CN，CM=MN， CM=MN三種情況分別求出點M的坐標(biāo)。

（3）根據(jù)題意先證出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意得：

當(dāng)0≤x≤2時，

∵∠BPN+∠DPE=90°，∠BPN+∠EPD=90°，∴∠DPE=∠EPD。

∴△PBN∽△DEP，∴，即。∴。

∴。

當(dāng)2＜x≤6時，

∵△PBN∽△DEP，∴，即�！�。

∴。

∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式：。

根據(jù)①當(dāng)0≤x≤2時，S=x²﹣8x+12=（x﹣4）²﹣4，②當(dāng)2＜x≤6時，S=﹣x²+8x﹣12=﹣（x﹣4）²+4，即可得出答案。

解：（1）（2，0），（2，2）。

（2）存在點M使△CMN為等腰三角形，理由如下：

由翻折可知四邊形AODE為正方形，

過M作MH⊥BC于H，

∵∠PDM=∠PMD=45°，

∴∠NMH=∠MNH=45°。NH=MH=4，MN=。

∵直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，

∴設(shè)MN的解析式為y=x+b，

而DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，∴M（2，2+b），N（6，6+b）。

∴。

分三種情況討論：

①當(dāng)CM=CN時，4²+（2+b）²=（6+b）²，解得：b=﹣2，

此時M（2，0）。

②當(dāng)CM=MN時，4²+（2+b）²=（）²，解得：b₁=2，b₁=﹣6（不合題意舍去），

此時M（2，4）。

③當(dāng)CM=MN時，6+b=，解得：b=﹣6，

此時M（2，﹣4）。

綜上所述，存在點M使△CMN為等腰三角形，M點的坐標(biāo)為：

（2，0），（2，4），（2，﹣4）。

（3）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：。

①當(dāng)0≤x≤2時，S=x²﹣8x+12=（x﹣4）²﹣4，

當(dāng)x≤4時，S隨x的增大而減小，即0≤x≤2；

②當(dāng)2＜x≤6時，S=﹣x²+8x﹣12=﹣（x﹣4）²+4，

當(dāng)x≥4時，S隨x的增大而減小，即4≤x≤6。

綜上所述：S隨x增大而減小時，0≤x≤2或4≤x≤6。