【題目】(本小題滿分12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線(
)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),經過點A的直線l:
與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.
(1)直接寫出點A的坐標,并求直線l的函數(shù)表達式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)點E是直線l上方的拋物線上的動點,若△ACE的面積的最大值為,求a的值;
(3)設P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)A(-1,0),;(2)
;(3)P的坐標為(1,
)或(1,-4).
【解析】
試題(1)在中,令y=0,得到
,
,得到A(-1,0),B(3,0),由直線l經過點A,得到
,故
,令
,即
,由于CD=4AC,故點D的橫坐標為4,即有
,得到
,從而得出直線l的函數(shù)表達式;
(2)過點E作EF∥y軸,交直線l于點F,設E(,
),則F(
,
),
EF==
,S△ACE=S△AFE-S△CFE=
=
,故△ACE的面積的最大值為
,而△ACE的面積的最大值為
,所以
,解得
;
(3)令,即
,解得
,
,得到D(4,5a),因為拋物線的對稱軸為
,設P(1,m),然后分兩種情況討論:①若AD是矩形的一條邊,②若AD是矩形的一條對角線.
試題解析:(1)∵=
,令y=0,得到
,
,∴A(-1,0),B(3,0),∵直線l經過點A,∴
,
,∴
,令
,即
,∵CD=4AC,∴點D的橫坐標為4,∴
,∴
,∴直線l的函數(shù)表達式為
;
(2)過點E作EF∥y軸,交直線l于點F,設E(,
),則F(
,
),
EF==
,
S△ACE=S△AFE-S△CFE=
==
,
∴△ACE的面積的最大值為,∵△ACE的面積的最大值為
,∴
,解得
;
(3)令,即
,解得
,
,∴D(4,5a),∵
,∴拋物線的對稱軸為
,設P(1,m),
①若AD是矩形的一條邊,則Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,則P(1,26a),∵四邊形ADPQ為矩形,∴∠ADP=90°,∴,∴
,即
,∵
,∴
,∴P1(1,
);
②若AD是矩形的一條對角線,則線段AD的中點坐標為( ,
),Q(2,
),m=
,則P(1,8a),∵四邊形APDQ為矩形,∴∠APD=90°,∴
,∴
,即
,∵
,∴
,∴P2(1,-4).
綜上所述,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,點P的坐標為(1,)或(1,-4).
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【題目】如圖,六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形,AB是其中一個小長方形的對角線,請在大長方形中完成下列畫圖,要求:①僅用無刻度直尺,②保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖1中畫出一個45°角,使點A或點B是這個角的頂點,且AB為這個角的一邊;
(2)在圖2中畫出線段AB的垂直平分線.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P是AB上一點,且點P是弦CD的中點.
(1)依題意畫出弦CD,并說明畫圖的依據(jù);(不寫畫法,保留畫圖痕跡)
(2)若AP=2,CD=8,求⊙O的半徑.
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【題目】(2015德陽)大華服裝廠生產一件秋冬季外套需面料1.2米,里料0.8米,已知面料的單價比里料的單價的2倍還多10元,一件外套的布料成本為76元.
(1)求面料和里料的單價;
(2)該款外套9月份投放市場的批發(fā)價為150元/件,出現(xiàn)購銷兩旺態(tài)勢,10月份進入批發(fā)淡季,廠方決定采取打折促銷.已知生產一件外套需人工等固定費用14元,為確保每件外套的利潤不低于30元.
①設10月份廠方的打折數(shù)為m,求m的最小值;(利潤=銷售價﹣布料成本﹣固定費用)
②進入11月份以后,銷售情況出現(xiàn)好轉,廠方決定對VIP客戶在10月份最低折扣價的基礎上實施更大的優(yōu)惠,對普通客戶在10月份最低折扣價的基礎上實施價格上�。阎獙�VIP客戶的降價率和對普通客戶的提價率相等,結果一個VIP客戶用9120元批發(fā)外套的件數(shù)和一個普通客戶用10080元批發(fā)外套的件數(shù)相同,求VIP客戶享受的降價率.
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【題目】已知關于的一元二次方程:
.
(1)求證:對于任意實數(shù),方程都有實數(shù)根;
(2)當為何值時,方程的兩個根互為相反數(shù)?請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD⊥BC,CE⊥BC,∠DAE=45°,若BD=,CE=3
,則線段DE=_____.
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【題目】某公司從2014年開始投入技術改進資金,經技術改進后,其產品的成本不斷降低,具體數(shù)據(jù)如下表:
年 度 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
投入技改資金 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
產品成本 | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
(1)請你認真分析表中數(shù)據(jù),從一次函數(shù)和反比例函數(shù)中確定哪一個函數(shù)能表示其變化規(guī)律,給出理由,并求出其解析式;
(2)按照這種變化規(guī)律,若2017年已投入資金5萬元.
①預計生產成本每件比2016年降低多少萬元?
②若打算在2017年把每件產品成本降低到3.2萬元,則還需要投入技改資金多少萬元?(結果精確到0.01萬元).
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【題目】閱讀小明用下面的方法求出方程2﹣3x=0的
解法1:令 原方程化為2t﹣3t2=0 解方程2t﹣3t2=0,得t1=0,t2= 所以 將方程 得x=0或 經檢驗,x=0或 所以,原方程的解是x=0或 | 解法2:移項,得2 方程兩邊同時平方,得4x=9x2, 解方程4x=9x2,得x=0或 經檢驗,x=0或 所以,原方程的解是x=0或 |
請仿照他的某一種方法,求出方法x﹣=﹣1的解.
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【題目】已知:矩形ABCD,AB=2,BC=5,動點P從點B開始向點C運動,動點P速度為每秒1個單位,以AP為對稱軸,把△ABP折疊,所得△AB'P與矩形ABCD重疊部分面積為y,運動時間為t秒.
(1)當運動到第幾秒時點B'恰好落在AD上;
(2)求y關于t的關系式,以及t的取值范圍;
(3)在第幾秒時重疊部分面積是矩形ABCD面積的;
(4)連接PD,以PD為對稱軸,將△PCD作軸對稱變換,得到△PC'D,當t為何值時,點P、B'、C'在同一直線上?
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