Question

如圖，拋物線過原點(diǎn)O，與x軸交于A，點(diǎn)D（4，2）在該拋物線上，過點(diǎn)D作CD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)CO、AD.

1.求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)

2.將△BCO繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后                                      再沿x軸對(duì)折得到△OEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說明理由；

3.設(shè)過點(diǎn)E的直線交OA于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形AOCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

 

1.；C(-1,2)

2.點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下：

由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)知：

點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1）

當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)E落在拋物線上.    

3.存在點(diǎn)P（a，0）. 如上圖記S_梯形CQPO=S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)F（3，0）時(shí)，易求S₁=5，S₂ = 3，此時(shí)S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.

設(shè)直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）

∴CQ = 3a－5，P O= a，.

下面分兩種情形：①當(dāng)S₁∶S₂= 1∶3時(shí)，= 2；

∴4a－75= 2，解得；

②當(dāng)S₁∶S₂= 3∶1時(shí)，；   ∴4a－75= 6，解得；

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）   

解析:（1）根據(jù)O、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線的解析式，然后利用拋物線的性質(zhì)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）利用旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)E在拋物線上；

（3）分二種情況討論：①梯形COPQ面積:梯形DAPQ面積=1：3，②梯形COPQ面積:梯形DAPQ面積=3：1.