Question

如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF為⊙O的直徑，有下列結論：
①∠ABP=∠AOP；②=；③AC平分∠PAB；④2BE²=PE•BF，
其中結論正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：首先連接OB，根據(jù)切線長定理得PA=PB，∠APO=∠BPO；易證得△APO≌△BPO，得∠AOP=∠BOP，即=；再根據(jù)這些基礎條件進行判斷．
解答：解：連接OB；
∵PA、PB都是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO；
又PO=OP，
∴△APO≌△BPO，
∴∠AOP=∠BOP，
∴=；
①∵PB切⊙O于點B，
∴∠PBA=∠AFB，
由=，得∠AFB=∠AOP，
∴∠PBA=∠AOP；
故①正確；
②∵∠AOC=∠BOC=∠FOD，
∴==；
故②正確；
③同①，可得∠PAB=∠AOC；
∵=，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠EAC=∠BOC=∠AOC，
∴∠EAC=∠PAB，
∴AC平分∠PAB；故③正確；
④在△PEB和△ABF中，
，
∴△PEB∽△ABF，
∴BE：PE=BF：AB=BF：2BE，即2BE²=PE•BF，
故④正確；
綜上所述，正確的結論共有4個；
故選D．
點評：此題主要考查的是切線的性質，涉及的知識點有：圓周角定理，全等三角形的判斷和性質，切線長定理，圓心角、弧、弦的關系等．