Question

設α、β是關于x的方程kx²+2（k-2）x+k+4=0的兩個實數(shù)根，且α、β滿足α²+β²-αβ=5，求k的值．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數(shù)的關系和代數(shù)式變形求則可．設x₁，x₂是關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
欲求k的值，先把α²+β²-αβ=5的左邊變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值列出方程解即可．

解答：解：α、β是關于x的方程kx²+2（k-2）x+k+4=0的兩個實數(shù)根，
α+β=-

2k-4

k

，αβ=

k+4

k

，
由α²+β²-αβ=5
（α+β）²-3αβ=5
(-

2k-4

k

)2-3×

k+4

k

=5，
解得k=

-7- 65

2

或k=

-7+ 65

2

，
經檢驗都是方程的根．
△=[2（k-2）]²-4k（k+4）＞0，
解得k的范圍為k＜

1

2

．
∴k=

-7- 65

2

．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是經常使用的一種解題方法，注意所求值的取舍．