Question

（2007•蕪湖）閱讀以下材料，并解答以下問題．
“完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，這是分類加法計數(shù)原理；完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法，這就是分步乘法計數(shù)原理．”如完成沿圖1所示的街道從A點(diǎn)出發(fā)向B點(diǎn)行進(jìn)這件事（規(guī)定必須向北走，或向東走），會有多種不同的走法，其中從A點(diǎn)出發(fā)到某些交叉點(diǎn)的走法數(shù)已在圖2填出．
（1）根據(jù)以上原理和圖2的提示，算出從A出發(fā)到達(dá)其余交叉點(diǎn)的走法數(shù)，將數(shù)字填入圖2的空圓中，并回答從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)的走法共有多少種？
（2）運(yùn)用適當(dāng)?shù)脑�理和方法算出從A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)B點(diǎn)，并禁止通過交叉點(diǎn)C的走法有多少種？
（3）現(xiàn)由于交叉點(diǎn)C道路施工，禁止通行．求如任選一種走法，從A點(diǎn)出發(fā)能順利開車到達(dá)B點(diǎn)（無返回）概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，則到達(dá)A點(diǎn)以外的任意交叉點(diǎn)的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點(diǎn)和西邊交叉點(diǎn)的數(shù)字之和．從而計算出從A點(diǎn)到達(dá)其余各交叉點(diǎn)的走法數(shù)；
（2）此題有兩種計算方法：方法一是先求從A點(diǎn)到B點(diǎn)，并經(jīng)過交叉點(diǎn)C的走法數(shù)，再用從A點(diǎn)到B點(diǎn)總走法數(shù)減去它；方法二是刪除與C點(diǎn)緊相連的線段，運(yùn)用分類加法計數(shù)原理，算出從A點(diǎn)到B點(diǎn)并禁止通過交叉點(diǎn)C的走法；
（3）結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論，即可求得概率．
解答：解：（1）∵完成從A點(diǎn)到B點(diǎn)必須向北走，或向東走，
∴到達(dá)A點(diǎn)以外的任意交叉點(diǎn)的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點(diǎn)和西邊交叉點(diǎn)的數(shù)字之和，
故使用分類加法計數(shù)原理，由此算出從A點(diǎn)到達(dá)其余各交叉點(diǎn)的走法數(shù)，填表如圖1．
答：從A點(diǎn)到B點(diǎn)的走法共有35種．

（2）方法一：可先求從A點(diǎn)到B點(diǎn)，并經(jīng)過交叉點(diǎn)C的走法數(shù)，再用從A點(diǎn)到B點(diǎn)總走法數(shù)減去它，即得從A點(diǎn)到B點(diǎn)，但不經(jīng)過交叉點(diǎn)C的走法數(shù)．
完成從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)C點(diǎn)到B點(diǎn)這件事可分兩步，先從A點(diǎn)到C點(diǎn)，再從C點(diǎn)到B點(diǎn)，
使用分類加法計數(shù)原理，算出從A點(diǎn)到C點(diǎn)的走法是3種，見圖2；算出從C點(diǎn)到B點(diǎn)的走法為6種，見圖3，再運(yùn)用分步乘法計數(shù)原理，得到從A點(diǎn)經(jīng)C點(diǎn)到B點(diǎn)的走法有3×6=18種．
∴從A點(diǎn)到B點(diǎn)但不經(jīng)過C點(diǎn)的走法數(shù)為35-18=17種．

方法二：由于交叉點(diǎn)C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點(diǎn)緊相連的線段，運(yùn)用分類加法計數(shù)原理，算出從A點(diǎn)到B點(diǎn)并禁止通過交叉點(diǎn)C的走法有17種．從A點(diǎn)到各交叉點(diǎn)的走法數(shù)見圖4，
∴從A點(diǎn)到B點(diǎn)并禁止經(jīng)過C點(diǎn)的走法數(shù)為35-18=17種．

（3）P（順利開車到達(dá)B點(diǎn)）=．
答：任選一種走法，順利開車到達(dá)B點(diǎn)的概率是．
點(diǎn)評：能夠根據(jù)題意中的方法進(jìn)行計算，掌握這兩種不同的計算方法可以使此類題的計算過程更簡便．