Question

已知，如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG，請(qǐng)?zhí)骄浚?br/>①線段AE與CG是否相等，請(qǐng)說明理由．
②若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y最大，最大值是多少？

Answer 1

解：①AE=CG，理由是：
∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠DCB=∠ABC=∠EBG=90°，AB=BC，
∴∠EBA=∠GBC，
在△AEB和△CGB中
∠A=∠GCB=90°，AB=BC，∠EBA=∠GBC，
∴△AEB≌△CGB，
∴AE=CG．

②∵正方形BEFG和正方形ABCD，
∴∠D=∠A=90°，∠HEB=90°，
∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠DHE=∠AEB，
∴△ABE∽△DEH，
=，
即=，
∴y=-x²+x=-+，
當(dāng)x=時(shí)，y最大，最大值是．
答：當(dāng)x取時(shí)，y最大，最大值是．
分析：①根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=BC，∠EBA=∠GBC，∠A=∠GCB，證△AEB≌△CGB即可；
②證△ABE∽△DEH，得到比例式代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．