Question

如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重

合，∠OAB＝90°，OA＝4，AB＝2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到

點C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分

別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點，問：四邊形PEFM的周長

是否有最大值?如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．

（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點

構成以OC為一邊的平行四邊形，若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明

理由.

Answer 1

解：（1）因為OA=4，AB=2，把△AOB繞點O逆時針旋轉90°，

可以確定點C的坐標為（2，4）；由圖可知點A的坐標為

(4，0)，又因為拋物線經過原點，故設y=ax²+bx把(2，4)，

(4，0)代入，得，解得

所以拋物線的解析式為y=-x²+4x

（2）由題意，如圖所示，設點P的坐標為P（a，-a²+4a）則

由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4-2a，

PE=MF=-a²+4a，則矩形PEFM的

周長L=2[4-2a+(-a²+4a)]=-2(a-1)²+10

所以當a=1時，矩形PEFM的周長

有最大值，L_max=10

（3）∵y=-x²+4x=-(x-2)²+4

可知頂點坐標（2，4），所以

知道C點正好是頂點坐標，

知道C點到x軸的距離為4個

單位長度，過點C作x軸的平

行線，與x軸沒有其它交點，過y=-4作x軸的平行線，與拋

物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有

-x²+4x=-4 解得x₁=2+，x₂=2-

∴N點坐標為

N₁(2+，-4)，

N₂(2-，-4)