如圖,在正方形ABCD中,等邊△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上.
(1)求證:△ABE≌△ADF;
(2)若等邊△AEF的周長(zhǎng)為6,求正方形ABCD的邊長(zhǎng).
考點(diǎn):正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理
專題:
分析:(1)根據(jù)四邊形ABCD是正方形,得出AB=AD,∠B=∠D=90°,再根據(jù)△AEF是等邊三角形,得出AE=AF,最后根據(jù)HL即可證出△ABE≌△ADF;
(2)根據(jù)等邊△AEF的周長(zhǎng)是6,得出AE=EF=AF的長(zhǎng),再根據(jù)(1)的證明得出CE=CF,∠C=90°,從而得出△ECF是等腰直角三角形,再根據(jù)勾股定理得出EC的值,設(shè)BE=x,則AB=x+
2
,在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,求出x的值,即可得出正方形ABCD的邊長(zhǎng).
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,
∵△AEF是等邊三角形,
∴AE=AF,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
AB=AD
AE=AF

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL);

(2)解:∵等邊△AEF的周長(zhǎng)是6,
∴AE=EF=AF=2,
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴BE=DF,
∴CE=CF,∠C=90°,
即△ECF是等腰直角三角形,
由勾股定理得CE2+CF2=EF2,
∴EC=
2

設(shè)BE=x,則AB=x+
2
,
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即(x+
2
2+x2=4,
解得x1=
-
2
+
6
2
或x2=
-
2
-
6
2
(舍去),
∴AB=
-
2
+
6
2
+
2
=
2
+
6
2

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為
2
+
6
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是對(duì)正方形和三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用要熟練掌握.
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2
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3
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2
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-(
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