Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，tan∠CDO=．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AE⊥x軸于E，由D、E坐標(biāo)可以得到OD=OE，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠ADE=，而tan∠CDO=tan∠ADE=，由此利用已知條件可以求出AE，也就求出A的坐標(biāo)；
（2）首先利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)y=的k值，然后根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b過A（2，2），D（-2，0），也利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（3）由反比例函數(shù)和直線有交點(diǎn)得到=x+1，解方程即可求出B的坐標(biāo)，然后利用割補(bǔ)法就可以得到S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，利用已知條件即可解決問題．
解答：解：（1）過A作AE⊥x軸于E
∵D（-2，0），E（2，0），
∴OD=OE，
∵Rt△AED中，∠AED=90°，
∴tan∠ADE=，
∵tan∠CDO=tanADE=，OD=2，OE=2，
∴AE=DE•tan∠ADE=×4=2，
∴A（2，2）；

（2）∵反比例函數(shù)y=過點(diǎn)A（2，2），
∴k=4，
∴y=，
∵一次函數(shù)y=ax+b過A（2，2），D（-2，0），
∴，
∴，
∴y=x+1；

（3）∵=x+1，
∴x²+2x-8=0，
∴（x+4）（x-2）=0，
∴x₁=-4，x₂=2，
∴B（-4，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=×2×2+×2×1=3．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)首先利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，然后利用三角形的面積公式、面積的割補(bǔ)法及解一元二次方程即可解決問題．